Bolas, Conjuntos Abertos e Fechados
Bolas Abertas e Fechadas
Definição. Seja $(E,d)$ um espaço métrico, $p \in E$ e $r > 0$.
- A bola aberta de centro $p$ e raio $r$ é $B(p,r) = {x \in E : d(x,p) < r}$.
- A bola fechada de centro $p$ e raio $r$ é $\overline{B}(p,r) = {x \in E : d(x,p) \le r}$.
Exemplo 1. Em $\mathbb{R}$ com a métrica usual, $B(2,3) = {x : |x-2|<3} = (-1,5)$ e $\overline{B}(2,3) = [-1,5]$.
Exemplo 2. Em $\mathbb{R}^2$ com a métrica euclidiana, $B((0,0),1)$ é o disco aberto unitário (interior do círculo de raio $1$).
Exemplo 3. Em $\mathbb{R}^2$ com a métrica do taxista $d_1$, a bola $B_{d_1}((0,0),1)$ é o interior do quadrado com vértices $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.
Exemplo 4. Na métrica discreta, $B(p,1) = {p}$ (pois $d(x,p)<1$ implica $d(x,p)=0$, logo $x=p$), e $\overline{B}(p,1) = E$ (pois $d(x,p) \le 1$ para todo $x$).