Prove que toda bola aberta $B(p,r)$ é um conjunto aberto.
Prove que a interseção finita de abertos é aberta.
Dê um exemplo mostrando que a interseção infinita de abertos pode não ser aberta.
Prove que um conjunto $F\subseteq E$ é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação.
Prove que todo conjunto finito em um espaço métrico é fechado.
Prove que ${x\in\mathbb{R}^n:d(x,p)\le r}$ é fechado.
Prove que $S\subseteq E$ é limitado se e somente se $S\subseteq B(p,M)$ para algum $p\in E$ e $M>0$.
Prove que na métrica discreta em um conjunto infinito $E$, toda bola aberta $B(p,r)$ com $r>1$ é igual a $E$.
Prove que se $U$ é aberto em $(E,d)$ e $S\subseteq E$, então $U\cap S$ é aberto em $(S,d|_S)$.
Prove que $[0,1)$ não é aberto nem fechado em $\mathbb{R}$.
Prove que a união arbitrária de conjuntos abertos é aberta.
Qual dos seguintes conjuntos é aberto em $\mathbb{R}$?
Na métrica discreta em $E$, qual afirmação é verdadeira?
Em $\mathbb{R}^2$ com a métrica euclidiana, qual é a forma da bola $B((0,0),1)$?
Se $F_1\supseteq F_2\supseteq\cdots$ são fechados em $\mathbb{R}$ com $F_n\neq\emptyset$, é necessariamente verdade que $\bigcap F_n\neq\emptyset$?
Qual das seguintes afirmações sobre conjuntos limitados é falsa?
Em $\mathbb{R}$, qual é o raio da menor bola fechada centrada em $2$ que contém o intervalo $[-1,4]$?
Calcule o diâmetro do conjunto $S={(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le 4}$ na métrica euclidiana.
Em $\mathbb{R}$ com a métrica usual, calcule o diâmetro de $(0,1)\cup(2,3)$.
Na métrica do taxista em $\mathbb{R}^2$, qual o diâmetro do quadrado $[0,1]^2$?