Sequências de Cauchy e Completude

Sequências de Cauchy

Definição. Uma sequência $(x_n)$ em um espaço métrico $(E,d)$ é de Cauchy se, para todo $\varepsilon > 0$, existe $N \in \mathbb{N}$ tal que
$$m, n \ge N \implies d(x_m, x_n) < \varepsilon.$$

Intuitivamente, os termos da sequência ficam arbitrariamente próximos entre si.

Proposição. Toda sequência convergente é de Cauchy.

Demonstração. Se $x_n \to L$, dado $\varepsilon>0$, existe $N$ com $d(x_n,L)<\varepsilon/2$ para $n\ge N$. Para $m,n\ge N$:
$$d(x_m,x_n) \le d(x_m,L)+d(L,x_n) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. \quad \square$$

A recíproca nem sempre vale — depende do espaço.

Exemplo 1. $x_n = 1/n$ é de Cauchy em $\mathbb{R}$: para $m,n\ge N$, $|1/m - 1/n| \le 1/m + 1/n \le 2/N < \varepsilon$ se $N > 2/\varepsilon$.

Exemplo 2. $x_n = (-1)^n$ não é de Cauchy: $|x_{2k} - x_{2k+1}| = 2$ para todo $k$.

Exemplo 3. Em $\mathbb{Q}$, defina $x_1=1$, $x_{n+1} = x_n/2 + 1/x_n$. Esta é uma sequência de Cauchy em $\mathbb{Q}$ que converge para $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Logo é de Cauchy mas não converge em $\mathbb{Q}$.