Prove que toda sequência convergente é de Cauchy.
Prove que toda sequência de Cauchy é limitada.
Prove que $\mathbb{Q}$ com a métrica usual não é completo.
Prove que um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é completo.
Prove que um subespaço completo de um espaço métrico é fechado.
Prove que se $(x_n)$ é de Cauchy e possui subsequência convergente $x_{n_k}\to L$, então $x_n\to L$.
Prove que $(0,1)$ com a métrica usual não é completo.
Prove que $\mathbb{R}^n$ com a métrica euclidiana é completo.
Prove que se $(x_n),(y_n)$ são de Cauchy em $(E,d)$, então $d(x_n,y_n)$ converge em $\mathbb{R}$.
Prove que em um espaço métrico completo, se $\sum_{n=1}^\infty d(x_n,x_{n+1})<\infty$, então $(x_n)$ converge.
Prove que o espaço métrico $({0,1}^\mathbb{N},d)$, onde $d((a_n),(b_n))=\sum_{n=1}^\infty|a_n-b_n|/2^n$, é completo.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
O espaço $(0,1)$ com a métrica usual não é completo. Qual é a razão essencial?
Qual é a importância de uma subsequência convergente para uma sequência de Cauchy?
Qual das seguintes é uma sequência de Cauchy em $\mathbb{Q}$ que não converge em $\mathbb{Q}$?
O completamento de $\mathbb{Q}$ é:
A sequência $x_n=\sum_{k=0}^n 1/k!$ converge para $e$. Calcule $x_3=\sum_{k=0}^3 1/k!$ (resposta como fração decimal).
Se $x_n=3+(-1)^n/n$, para qual menor $N$ temos $|x_n-3|<0.1$ para todo $n\ge N$?
Calcule $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt{n}}$.
Se $x_1=1$ e $x_{n+1}=x_n/2+1$, calcule o limite $L$ da sequência (supondo convergência).