Compacidade

Coberturas Abertas e Compacidade

Definição. Uma cobertura aberta de um subconjunto $S$ de um espaço métrico $(E,d)$ é uma família ${U_\alpha}{\alpha\in A}$ de abertos de $E$ tal que $S \subseteq \bigcup{\alpha\in A} U_\alpha$. Uma subcobertura é uma subfamília que ainda cobre $S$.

Definição. Um subconjunto $K \subseteq E$ é compacto se toda cobertura aberta de $K$ admite uma subcobertura finita.

Exemplo 1. Todo conjunto finito ${x_1,\dots,x_n}$ é compacto: dada uma cobertura ${U_\alpha}$, para cada $x_i$ escolha $U_{\alpha_i}$ contendo $x_i$. Então ${U_{\alpha_1},\dots,U_{\alpha_n}}$ é subcobertura finita.

Exemplo 2. $(0,1)$ não é compacto em $\mathbb{R}$: a cobertura ${(1/n, 1) : n\ge 2}$ não admite subcobertura finita, pois $\bigcup_{n=2}^{N}(1/n,1) = (1/N, 1) \neq (0,1)$.

Exemplo 3. $\mathbb{R}$ não é compacto: ${(-n,n) : n\ge 1}$ não admite subcobertura finita.