Prove que todo conjunto compacto é limitado.
Prove que todo conjunto compacto é fechado.
Prove que todo subconjunto fechado de um conjunto compacto é compacto.
Prove que $(0,1)$ não é compacto em $\mathbb{R}$.
Prove o Teorema de Bolzano-Weierstrass: todo subconjunto infinito de um compacto tem ponto de acumulação no compacto.
Prove que a imagem contínua de um conjunto compacto é compacta.
Prove a propriedade da interseção finita: $K$ é compacto se e somente se toda família de fechados em $K$ com a propriedade da interseção finita tem interseção não vazia.
Prove que se $K_1\supseteq K_2\supseteq\cdots$ são compactos não vazios, então $\bigcap K_n\neq\emptyset$.
Prove que $K\subseteq\mathbb{R}^n$ é compacto se e somente se é sequencialmente compacto.
Prove que todo espaço métrico compacto é completo.
Prove que se $K$ é compacto e $f\colon K\to\mathbb{R}$ é contínua, então $f$ atinge máximo e mínimo.
Qual das seguintes afirmações sobre compacidade é falsa?
O conjunto ${1/n:n\ge 1}$ em $\mathbb{R}$ é compacto?
Qual propriedade diferencia compacidade sequencial de completude?
O conjunto $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ é compacto em $\mathbb{R}$?
Um subconjunto $S$ de $\mathbb{R}^n$ é totalmente limitado se e somente se:
Quantos pontos de acumulação tem o conjunto ${(-1)^n(1-1/n):n\ge 1}$ em $\mathbb{R}$?
Se $K_n=[0,1/n]$, qual é o número de elementos de $\bigcap_{n=1}^\infty K_n$?
Qual o menor número de bolas abertas de raio $1/2$ necessárias para cobrir $[0,2]$?
Qual o diâmetro do conjunto compacto ${(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le 9}$ na métrica euclidiana?