Continuidade Uniforme

Definição

Definição. $f\colon E\to F$ é uniformemente contínua se, para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que
$$d_E(x,y)<\delta \implies d_F(f(x),f(y))<\varepsilon \quad\text{para todos } x,y\in E.$$

A diferença crucial: na continuidade pontual, $\delta$ pode depender de $\varepsilon$ e do ponto $p$; na continuidade uniforme, $\delta$ depende apenas de $\varepsilon$.

Exemplo 1. $f(x)=3x+1$ é uniformemente contínua em $\mathbb{R}$: $|f(x)-f(y)|=3|x-y|<\varepsilon$ se $|x-y|<\delta=\varepsilon/3$.

Exemplo 2. $f(x)=x^2$ não é uniformemente contínua em $\mathbb{R}$: $|x^2-y^2|=|x+y||x-y|$. Para $x=n$, $y=n+1/(2n)$: $|x-y|=1/(2n)\to 0$, mas $|f(x)-f(y)|=|2n+1/(2n)|\cdot 1/(2n) \ge 1$. Nenhum $\delta$ único funciona.

Exemplo 3. $f(x)=x^2$ é uniformemente contínua em $[0,M]$ para qualquer $M$: $|x^2-y^2|\le 2M|x-y|<\varepsilon$ se $|x-y|<\delta=\varepsilon/(2M)$.