Prove que toda função constante $f(x)=c$ é contínua em qualquer espaço métrico.
Prove que $f(x)=x^2$ é contínua em todo $p\in\mathbb{R}$ usando a definição $\varepsilon$-$\delta$.
Prove que a função de Dirichlet $f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\0,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ é descontínua em todo ponto.
Prove que $f\colon E\to F$ é contínua se e somente se $f^{-1}(V)$ é aberto para todo aberto $V\subseteq F$.
Prove a caracterização sequencial: $f$ é contínua em $p$ sse $x_n\to p\implies f(x_n)\to f(p)$.
Prove que $f(x)=|x|$ é contínua em $\mathbb{R}$.
Prove que se $f$ é contínua em $p$ e $f(p)>0$, então existe $\delta>0$ tal que $f(x)>0$ para $x\in B(p,\delta)$.
Prove que $f\colon E\to F$ é contínua se e somente se $f^{-1}(C)$ é fechado para todo fechado $C\subseteq F$.
Prove que $g(x)=x\sin(1/x)$ para $x\neq 0$ e $g(0)=0$ é contínua em $0$.
Prove que se $f,g\colon E\to\mathbb{R}$ são contínuas em $p$, então $\max(f,g)$ é contínua em $p$.
Mostre que a função $f(x)=1/x$ é contínua em $(0,+\infty)$ mas não pode ser estendida continuamente a $[0,+\infty)$.
Qual das seguintes funções é contínua em todo $\mathbb{R}$?
A definição $\varepsilon$-$\delta$ de continuidade pode ser reformulada como:
Se $f$ é contínua e $V$ é aberto, então $f(V)$ é necessariamente aberto?
A função $h(x)=\sin(1/x)$ para $x\neq 0$:
Qual é a relação entre a definição topológica e a definição $\varepsilon$-$\delta$ de continuidade?
Para $f(x)=2x+3$ em $p=1$, qual o maior $\delta$ (em termos de $\varepsilon=0.1$) tal que $|f(x)-f(1)|<\varepsilon$ quando $|x-1|<\delta$?
Para $f(x)=x^2$ em $p=2$, se tomarmos $\delta=\min(1,\varepsilon/5)$ com $\varepsilon=1$, qual é $\delta$?
Quantos pontos de descontinuidade tem $f(x)=\lfloor x\rfloor$ no intervalo $[0,3]$?
Se $f(x)=3x-1$ e $g(x)=x^2$, calcule $(g\circ f)(2)$.