Prove que a métrica discreta $d(x,y)=\begin{cases}0,&x=y\1,&x\neq y\end{cases}$ satisfaz os três axiomas de métrica.
Prove que $d_1(x,y)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|$ é uma métrica em $\mathbb{R}^n$.
Prove a desigualdade de Cauchy-Schwarz: $\left(\sum a_ib_i\right)^2\le\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$.
Seja $(E,d)$ espaço métrico e $S\subseteq E$ não vazio. Prove que $(S,d|_{S\times S})$ é espaço métrico.
Prove que $d_\infty(x,y)=\max_{1\le i\le n}|x_i-y_i|$ é uma métrica em $\mathbb{R}^n$.
Prove que, em $\mathbb{R}^n$, $d_\infty(x,y)\le d_2(x,y)\le\sqrt{n}\,d_\infty(x,y)$, onde $d_2$ é a métrica euclidiana.
Prove que $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ define uma métrica em $\mathbb{R}$.
Seja $(E,d)$ espaço métrico. Prove que $|d(x,z)-d(y,z)|\le d(x,y)$ para todos $x,y,z\in E$ (desigualdade triangular reversa).
Prove que se $d$ é uma métrica em $E$, então $d'=\min(d,1)$ também é uma métrica em $E$.
Prove que a função $d\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $d(x,y)=|e^x-e^y|$ é uma métrica em $\mathbb{R}$.
Qual das seguintes funções não é uma métrica em $\mathbb{R}$?
Na métrica discreta sobre um conjunto $E$ com pelo menos $2$ elementos, qual é o diâmetro de $E$?
Sobre a desigualdade de Cauchy-Schwarz, qual afirmação é verdadeira?
Qual propriedade da métrica garante que $d(x,y)=0$ implica $x=y$?
Se $(E,d)$ é espaço métrico e $d'(x,y)=2d(x,y)$, qual afirmação é correta?
Se $d$ é uma métrica em $E$, qual das seguintes também é métrica?
Calcule a distância euclidiana $d_2((1,2,2),(5,5,2))$ em $\mathbb{R}^3$.
Calcule $d_1((3,1),(0,5))$ na métrica do taxista em $\mathbb{R}^2$.
Calcule $d_\infty((1,4,2),(3,1,5))$ em $\mathbb{R}^3$.
Para $a=(1,1)$ e $b=(2,3)$, verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz calculando ambos os lados. Qual o valor de $(\sum a_ib_i)^2$?