Prove o teorema de Fubini para funções escada.
Prove o teorema de Fubini: se $f$ é integrável em $I_1\times I_2$ e para cada $x$ a função $y\mapsto f(x,y)$ é integrável, então $\int_{I_1\times I_2}f=\int_{I_1}(\int_{I_2}f(x,y)dy)dx$.
Mostre com um exemplo que se $f$ não é integrável em $I_1\times I_2$, as duas iteradas podem diferir.
Prove que $\int_T f\,dA=\int_a^b(\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\,dy)dx$ para $T={(x,y):a\leq x\leq b,\;g(x)\leq y\leq h(x)}$ Jordan-mensurável.
Prove que a integral dupla de uma função separável $f(x,y)=g(x)h(y)$ num retângulo satisfaz $\int\int f=(\int g)(\int h)$.
Prove que $\int_0^1\int_y^1 e^{x^2}dx\,dy=\frac{e-1}{2}$ trocando a ordem de integração.
Prove Fubini para $\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$: se $f$ é integrável em $I_1\times I_2$ ($I_1\subset\mathbb{R}^p$, $I_2\subset\mathbb{R}^q$), a integral iterada dá o mesmo resultado.
Prove que $\int_0^4\int_{\sqrt{y}}^2\sin(x^3)dx\,dy=\frac{1-\cos 8}{3}$.
Prove que se $f\geq 0$ é integrável em $I_1\times I_2$ e $\int_{I_1\times I_2}f=0$, então para (quase) todo $x$, $\int_{I_2}f(x,y)dy=0$.
Calcule $\int_D xy\,dA$ onde $D={(x,y):0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq x^2}$ justificando cada passo via Fubini.
Qual é a hipótese essencial no teorema de Fubini?
Se $\int_0^1(\int_0^1 f\,dy)dx\neq\int_0^1(\int_0^1 f\,dx)dy$, o que podemos concluir?
Para trocar a ordem em $\int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx$, a nova integral é:
Para $f(x,y)=g(x)h(y)$ contínua em $[a,b]\times[c,d]$, qual fórmula vale?
Por que Fubini para escada é imediato?
Calcule $\int_0^2\int_0^3 xy\,dy\,dx$.
Calcule $\int_0^1\int_0^1 e^{x+y}\,dx\,dy$.
Calcule $\int\int_T xy\,dA$ onde $T={0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq x}$.
Calcule $\int_{[0,1]^3}xyz\,dV$.
Calcule $\int_0^1\int_{x}^{1}2y\,dy\,dx$ (triângulo superior).