Prove que a composição de funções é associativa: se $f: A \to B$, $g: B \to C$ e $h: C \to D$, então $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.
Seja $f: A \to B$. Prove que $f \circ \mathrm{id}_A = f$ e $\mathrm{id}_B \circ f = f$.
Seja $f: A \to B$. Prove que para $T_1, T_2 \subset B$: $f^{-1}(T_1 \cap T_2) = f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2)$.
Seja $f: A \to B$ e $S \subset A$. Prove que $S \subset f^{-1}(f(S))$. Dê um exemplo mostrando que a igualdade pode falhar.
Prove que, para $f: A \to B$ e $T \subset B$: $f(f^{-1}(T)) \subset T$. Dê um exemplo em que a igualdade falha.
Prove que, para $f: A \to B$ e $S_1, S_2 \subset A$: $f(S_1 \cup S_2) = f(S_1) \cup f(S_2)$.
Prove que, para $f: A \to B$ e $S_1, S_2 \subset A$: $f(S_1 \cap S_2) \subset f(S_1) \cap f(S_2)$. Mostre com um exemplo que a igualdade pode falhar.
Prove que se $f: A \to B$ é tal que $f(S_1 \cap S_2) = f(S_1) \cap f(S_2)$ para todos $S_1, S_2 \subset A$, então $f$ é injetora.
Seja $f: A \to B$ e $g: B \to A$ tal que $g \circ f = \mathrm{id}_A$. Prove que $f$ é injetora e $g$ é sobrejetora.
Prove que $f^{-1}(B \setminus T) = A \setminus f^{-1}(T)$ para toda $f: A \to B$ e $T \subset B$.
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3$. Prove que $f$ é injetora.
Sejam $f: A \to B$ e $g: B \to C$. Se $g \circ f$ é sobrejetora, qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
Qual afirmação sobre pré-imagem é falsa?
A composição de funções é:
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$. Qual é $f^{-1}([1, 4])$?
Se $f: A \to B$ é constante (ou seja, $f(a) = b_0$ para todo $a \in A$, com $|A| \geq 2$), então $f$ é:
Sejam $f(x) = 3x + 1$ e $g(x) = x^2$. Calcule $(g \circ f)(2)$.
Seja $f: {1,2,3,4} \to {1,2,3,4}$ definida por $f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=1$. Calcule $(f \circ f)(1)$.
Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 1$. Quantos elementos tem $f^{-1}({0})$?
Quantas funções existem de ${1, 2}$ em ${a, b, c}$?