Funções Implícitas, Inversas e Equações Integrais

Nesta lição, apresentamos os teoremas da função implícita e da função inversa (ambos demonstrados via aproximações sucessivas), e introduzimos equações integrais e EDOs lineares.

Teorema da Função Implícita

Teorema. Sejam $U \subset \mathbb{R}^{n+m}$ aberto, $F: U \to \mathbb{R}^m$ de classe $C^1$, $(a,b) \in U$ com $F(a,b) = 0$. Se a derivada parcial $D_y F(a,b) \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m)$ é inversível, então existem vizinhanças $V$ de $a$ em $\mathbb{R}^n$ e $W$ de $b$ em $\mathbb{R}^m$ e uma função $g: V \to W$ de classe $C^1$ tais que:
$$
F(x, g(x)) = 0 \quad \forall\, x \in V.
$$
Além disso, $g$ é a única tal função.

Ideia da demonstração. Reescreva $F(x,y)=0$ como $y = y - [D_y F(a,b)]^{-1}F(x,y) =: T_x(y)$. Para $x$ perto de $a$, $T_x$ é contração em $y$ perto de $b$ (pois $D_y T_x(a,b)=I-I=0$). O ponto fixo $y=g(x)$ satisfaz $F(x,g(x))=0$.

Exemplo 1. $F(x,y)=x^2+y^2-1$ em torno de $(0,1)$: $F_y(0,1)=2\neq 0$. Logo existe $g$ com $g(0)=1$ e $x^2+g(x)^2=1$, i.e., $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ localmente.

Exemplo 2. $F(x,y)=e^y+xy-1$ em torno de $(0,0)$: $F(0,0)=1+0-1=0$, $F_y(0,0)=e^0+0=1\neq 0$. Logo existe $g$ com $e^{g(x)}+xg(x)=1$ perto de $x=0$.