Demonstre o Teorema da Função Implícita para $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$: se $F(a,b)=0$ e $F_y(a,b)\neq 0$, existe $g$ com $F(x,g(x))=0$ perto de $(a,b)$.
Deduza o Teorema da Função Inversa a partir do Teorema da Função Implícita.
Demonstre que a equação integral de Volterra $y(x)=g(x)+\lambda\int_a^x K(x,t)y(t)\,dt$ tem solução única para qualquer $\lambda$.
Demonstre que o espaço de soluções da EDO $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0 y=0$ é um espaço vetorial de dimensão $n$.
Mostre que se $F(x,y)=x^2+y^2-1$ e $(x_0,y_0)=(0,1)$, o TFI garante $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ localmente.
Calcule $g'(x)$ pelo TFI para $F(x,y)=e^y+xy-1$, $(x_0,y_0)=(0,0)$.
Demonstre que a EDO linear $y'+a(x)y=b(x)$ com $a,b$ contínuas tem solução global dada pelo fator integrante.
Demonstre que para a equação de Fredholm $y=g+\lambda\int_a^b K(x,t)y(t)\,dt$, se $|\lambda|M(b-a)<1$ (com $M=\sup|K|$), então existe solução única.
Demonstre o princípio de superposição: se $y_1$ resolve $Ly=b_1$ e $y_2$ resolve $Ly=b_2$ (com $L$ linear), então $c_1 y_1+c_2 y_2$ resolve $Ly=c_1 b_1+c_2 b_2$.
Verifique que $y_p=\frac{x}{2}\sin x$ é solução particular de $y''+y=\cos x$.
Demonstre que se $Df(a)$ é inversível, então $f$ é injetora em uma vizinhança de $a$.
O Teorema da Função Implícita requer que qual derivada parcial seja inversível?
A equação integral de Volterra difere da de Fredholm por:
O espaço de soluções de $y''+y=0$ tem dimensão:
O Teorema da Função Inversa é consequência de:
Para a equação de Fredholm, a condição $|\lambda|M(b-a)<1$ garante:
Para $F(x,y)=x^2+y^2-1$, calcule $g'(0)$ onde $g(0)=1$ é dada pelo TFI.
Resolva $y'-y=e^{2x}$, $y(0)=0$. Calcule $y(1)$. ($y(x)=e^{2x}-e^x$.)
Para $y''+y=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$, calcule $y(\pi)$.
Calcule a dimensão do espaço de soluções de $y'''+y'=0$.