Injetividade, Sobrejetividade e Conjuntos Finitos

Funções Injetoras

Definição. Uma função $f: A \to B$ é injetora (ou injetiva, ou um-a-um) se elementos distintos de $A$ possuem imagens distintas em $B$:
$$\forall\, a_1, a_2 \in A, \quad f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2.$$

Equivalentemente: $a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) \neq f(a_2)$.

Exemplo 1. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$, é injetora. De fato, se $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3$, então $x_1 = x_2$.

Exemplo 2. $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x^2$, não é injetora, pois $g(-1) = g(1) = 1$.

Exemplo 3. A restrição $g|_{[0,+\infty)}: [0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x^2$, é injetora: se $x_1^2 = x_2^2$ com $x_1, x_2 \geq 0$, então $x_1 = x_2$.