Integrais Impróprias em $\mathbb{R}^n$
Este módulo trata de integrais impróprias de funções em domínios não-limitados ou com
singularidades, integrabilidade absoluta e a celebrada integral gaussiana.
Integrais Impróprias
Definição. Seja $f: S \to \mathbb{R}$ com $S \subset \mathbb{R}^n$ possivelmente não-limitado.
Tome uma sequência crescente de compactos Jordan-mensuráveis $K_1 \subset K_2 \subset \cdots$ com
$\bigcup K_j = S$. Definimos
$$\int_S f = \lim_{j \to \infty} \int_{K_j} f,$$
se o limite existe e independe da escolha da sequência exaustiva.
Definição. $f$ é absolutamente integrável em $S$ se $\int_S |f| < \infty$.
Proposição. Se $f$ é absolutamente integrável, então $\int_S f$ está bem definida
(i.e., o limite existe e independe da exaustão).
Exemplo 1. $\int_{\mathbb{R}} e^{-|x|}\, dx = 2\int_0^\infty e^{-x}\, dx = 2$. Absolutamente integrável.
Exemplo 2. $\int_{\mathbb{R}^2} \frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}\, dA$.
Em polares: $= \int_0^{2\pi}\int_0^\infty \frac{r}{(1+r^2)^2}\, dr\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$.