A Integral de Riemann

Nesta lição apresentamos a construção rigorosa da integral de Riemann, seguindo a abordagem de Rosenlicht. A ideia é aproximar a "área sob a curva" por somas finitas e tomar um limite.

Partições

Definição. Uma partição de $[a,b]$ é um conjunto finito $P = {x_0, x_1, \ldots, x_n}$ com

$$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b.$$

A largura (ou norma) de $P$ é $|P| = \max_{1\leq i\leq n}(x_i - x_{i-1})$.

Exemplo 1. A partição uniforme de $[0,1]$ em $n$ partes: $x_k = k/n$, $k=0,\ldots,n$. Largura: $|P|=1/n$.

Exemplo 2. $P = {0, 1/4, 1/2, 1}$ é partição de $[0,1]$ com $|P| = 1/2$.

Dizemos que $Q$ é um refinamento de $P$ se $P \subset Q$.