Integral de Riemann em $\mathbb{R}^n$
Neste módulo estendemos a integral de Riemann ao caso de funções de várias variáveis,
definindo partições, somas de Riemann, integrabilidade, funções escada, volume $n$-dimensional
e medida de Jordan.
Retângulos e Partições em $\mathbb{R}^n$
Definição. Um retângulo fechado (ou intervalo fechado) em $\mathbb{R}^n$ é um produto
cartesiano $I = [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_n,b_n]$, com $a_i \leq b_i$.
Definição. Uma partição de $I$ é uma coleção $P = P_1 \times \cdots \times P_n$,
onde cada $P_k$ é uma partição do intervalo $[a_k, b_k]$:
$P_k: a_k = t_0^{(k)} < t_1^{(k)} < \cdots < t_{N_k}^{(k)} = b_k$.
Os sub-retângulos de $P$ são os produtos $J = [t_{i_1-1}^{(1)}, t_{i_1}^{(1)}] \times \cdots \times [t_{i_n-1}^{(n)}, t_{i_n}^{(n)}]$.
Definição. A largura (ou malha) de $P$ é $|P| = \max_k \max_j (t_j^{(k)} - t_{j-1}^{(k)})$.
Exemplo 1. Em $\mathbb{R}^2$, $I = [0,1]\times[0,1]$ com $P_1 = {0, 1/2, 1}$ e $P_2 = {0, 1/3, 2/3, 1}$
produz $2 \times 3 = 6$ sub-retângulos. A largura é $\max(1/2, 1/3) = 1/2$.