Limites de Funções

Definição de Limite

Definição. Sejam $(E,d_E)$ e $(F,d_F)$ espaços métricos, $S\subseteq E$, $f\colon S\to F$, e $p$ um ponto de acumulação de $S$. Dizemos que $\lim_{x\to p}f(x)=L$ se, para todo $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que
$$x\in S,\; 0 < d_E(x,p)<\delta \implies d_F(f(x),L)<\varepsilon.$$

Nota: não exigimos $p\in S$, nem consideramos o valor $f(p)$ (se existir).

Exemplo 1. $\lim_{x\to 2}(3x-1)=5$: dado $\varepsilon>0$, $|3x-1-5|=3|x-2|<\varepsilon$ se $|x-2|<\delta=\varepsilon/3$.

Exemplo 2. $\lim_{x\to 0}\sin(x)/x = 1$ (pode ser provado geometricamente ou por séries de Taylor).

Exemplo 3. $\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$ não existe: as sequências $x_n = 1/(n\pi)$ e $y_n = 1/(2n\pi+\pi/2)$ dão $\sin(1/x_n)=0$ e $\sin(1/y_n)=1$.