Exercícios

Prove que $\lim_{x\to 2}(3x-1)=5$ usando a definição $\varepsilon$-$\delta$.

Prove que $\lim_{x\to 1}x^2=1$ usando a definição $\varepsilon$-$\delta$.

Prove a caracterização sequencial: $\lim_{x\to p}f(x)=L$ sse para toda $(x_n)\to p$ com $x_n\neq p$, temos $f(x_n)\to L$.

Prove que $\lim_{x\to 0}\sin(1/x)$ não existe.

Prove que se $\lim_{x\to p}f(x)=L$ e $\lim_{x\to p}g(x)=M$, então $\lim_{x\to p}(f+g)(x)=L+M$.

Prove que se $\lim_{x\to p}f(x)=L$ e $\lim_{x\to p}g(x)=M\neq 0$, então $\lim_{x\to p}f(x)/g(x)=L/M$.

Prove que $\lim_{x\to 0}x\sin(1/x)=0$.

Prove que $f$ é contínua em $p$ (ponto de acumulação do domínio, $p$ no domínio) sse $\lim_{x\to p}f(x)=f(p)$.

Prove que $\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=3$.

Prove que o limite, se existe, é único: se $\lim_{x\to p}f(x)=L$ e $\lim_{x\to p}f(x)=L'$, então $L=L'$.

Prove que $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$ (definição: para todo $\varepsilon>0$ existe $M$ com $x>M\implies|1/x|<\varepsilon$).

$\lim_{x\to 0}f(x)=L$ requer que:

Se $\lim_{x\to p}f(x)$ existe e $f(p)$ está definido, mas $\lim_{x\to p}f(x)\neq f(p)$, então:

A afirmação $\lim_{x\to 0^+}f(x)=L$ e $\lim_{x\to 0^-}f(x)=M$ com $L\neq M$ implica:

Para provar que um limite não existe, qual estratégia é mais eficaz?

$\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$:

Calcule $\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$.

Calcule $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$.

Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$.

Calcule $\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x^2-4}$.