Prove a fórmula de mudança de variáveis para transformações lineares $\Phi(x)=Ax$: $\int_{\Phi(I)}f(y)\,dy=|\det A|\int_I f(Ax)\,dx$.
Prove que a área de uma elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1$ é $\pi ab$ usando mudança de variáveis.
Deduza a fórmula de integração em coordenadas polares a partir da fórmula geral de mudança de variáveis.
Prove que $\int\int_{x^2+y^2\leq R^2}e^{-(x^2+y^2)}dA=\pi(1-e^{-R^2})$.
Prove que o volume da esfera de raio $R$ é $\frac{4\pi R^3}{3}$ usando coordenadas esféricas.
Enuncie a definição de partição da unidade subordinada a uma cobertura aberta e explique seu papel na demonstração da mudança de variáveis.
Prove que se $\Phi$ é um difeomorfismo $C^1$ com $|\det J\Phi|=c$ constante, então $\text{vol}(\Phi(S))=c\cdot\text{vol}(S)$.
Calcule $\int\int_D\sqrt{x^2+y^2}\,dA$ com $D={1\leq x^2+y^2\leq 4}$ usando mudança para polares.
Prove que a fórmula de mudança de variáveis é compatível com composição: se $\Phi=\Psi\circ\Theta$, então $|\det J\Phi|=|\det J\Psi||\det J\Theta|$.
Prove que $\int\int\int_{x^2+y^2+z^2\leq 1}(x^2+y^2+z^2)\,dV=\frac{4\pi}{5}$.
Mostre que a transformação $\Phi(u,v)=(u^2-v^2,\;2uv)$ tem jacobiano $4(u^2+v^2)$ e interprete geometricamente.
Na fórmula de mudança de variáveis, por que usamos $|\det J\Phi|$ e não $\det J\Phi$?
O jacobiano em coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$ é:
Para que a fórmula de mudança de variáveis valha, $\Phi$ deve ser:
Numa partição da unidade ${\phi_i}$, qual propriedade é essencial?
Se $\Phi(u,v)=(2u+v,\;3v)$, qual é $|\det J\Phi|$?
Calcule $\int\int_{x^2+y^2\leq 4}dA$ usando polares.
Calcule o volume do elipsoide $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+z^2\leq 1$.
Calcule $\int_0^{2\pi}\int_0^1 r^3\,dr\,d\theta$.
Calcule $|\det J\Phi|$ para $\Phi(u,v,w)=(u+v,\;u-v,\;2w)$ no ponto $(1,1,1)$.