Existência e Unicidade para EDOs — Picard-Lindelöf

Nesta lição, aplicamos o Teorema do Ponto Fixo de Banach para demonstrar o teorema de existência e unicidade de Picard-Lindelöf para equações diferenciais ordinárias.

Formulação do Problema

Consideramos o problema de valor inicial (PVI):
$$
\begin{cases} y'(x) = f(x, y(x)), \ y(x_0) = y_0, \end{cases}
$$
onde $f: U \to \mathbb{R}^n$ é contínua, $U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ é aberto e $(x_0, y_0) \in U$.

Questão fundamental: sob quais condições o PVI tem solução? É única?

Exemplo 1. $y' = y$, $y(0) = 1$. Solução: $y(x) = e^x$. Existe e é única em $\mathbb{R}$.

Exemplo 2. $y' = 2\sqrt{|y|}$, $y(0) = 0$. Soluções: $y \equiv 0$ e $y(x) = x^2$ (para $x \ge 0$). Não há unicidade! (A função $f(x,y) = 2\sqrt{|y|}$ não é Lipschitz em $y=0$.)