Demonstre que o PVI $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$ é equivalente à equação integral $y(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$.
Demonstre o Teorema de Picard-Lindelöf: existência e unicidade local do PVI sob condição de Lipschitz.
Mostre que $f(x,y)=xy$ é Lipschitz em $y$ na região $|x|\le a$, $|y|\le b$, e determine a constante $L$.
Realize duas iterações de Picard para $y'=y$, $y(0)=1$, e mostre que $y_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$.
Mostre que $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ admite pelo menos duas soluções distintas.
Demonstre que o operador de Picard mapeia $X$ em $X$ na demonstração de Picard-Lindelöf.
Demonstre o lema de Grönwall: se $\phi(x)\le A+B\int_{x_0}^x\phi(t)\,dt$ com $\phi\ge 0$, $A,B\ge 0$, então $\phi(x)\le Ae^{B(x-x_0)}$.
Use o lema de Grönwall para demonstrar unicidade do PVI: se $y$ e $z$ são soluções, então $y=z$.
Demonstre que a solução de $y'=y^2$, $y(0)=1$ é $y=1/(1-x)$ e que ela explode em $x=1$.
Realize a iteração de Picard para $y'=x+y$, $y(0)=0$, calculando $y_0, y_1, y_2, y_3$, e identifique o padrão.
A condição de Lipschitz em $y$ para $f(x,y)=\sqrt{|y|}$ em $y=0$:
O Teorema de Peano (sem Lipschitz) garante:
Na demonstração de Picard-Lindelöf, o espaço $X$ é completo porque:
A solução de $y'=y^2$, $y(0)=1$:
O lema de Grönwall é usado para provar:
Calcule $y_1(1)$ na iteração de Picard para $y'=y$, $y(0)=1$.
Para o PVI $y'=2y$, $y(0)=3$, qual é a solução em $x=1$?
Calcule o valor máximo de $\delta$ que garante contração no Picard-Lindelöf para $f(x,y)=3y$ (Lipschitz $L=3$).
Para $y'=y^2$, $y(0)=1$, em que ponto a solução explode?
Calcule $y_2(0{,}5)$ na iteração de Picard para $y'=x+y$, $y(0)=0$. ($y_2(x)=x^2/2+x^3/6$.)