Demonstre o Teorema do Ponto Fixo de Banach: se $(X,d)$ é completo e $T:X\to X$ é contração com $\lambda<1$, então $T$ tem único ponto fixo.
Demonstre a estimativa a priori: $d(x_n,x^*)\le\frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1)$.
Demonstre a estimativa a posteriori: $d(x_n,x^*)\le\frac{\lambda}{1-\lambda}d(x_n,x_{n-1})$.
Mostre que $T(x)=\cos x$ é contração em $[0,1]$ e determine uma constante de Lipschitz.
Demonstre que se $T:X\to X$ é tal que $T^N$ é contração para algum $N\ge 1$, então $T$ tem único ponto fixo.
Demonstre a convergência quadrática do método de Newton: se $f\in C^2$, $f(x^)=0$, $f'(x^)\neq 0$, então $|x_{n+1}-x^|\le C|x_n-x^|^2$ para $x_n$ perto de $x^*$.
Mostre que toda contração é uniformemente contínua.
Demonstre que se $f:[a,b]\to[a,b]$ é de classe $C^1$ com $\sup|f'|<1$, então $f$ é contração.
Demonstre que o operador $T:C([0,1])\to C([0,1])$ dado por $(Tf)(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f(t)\,dt$ é contração na norma do supremo.
Mostre que a hipótese $\lambda<1$ é essencial: dê exemplo de $T$ com $d(T(x),T(y))<d(x,y)$ para $x\neq y$ mas sem ponto fixo.
Qual hipótese não é necessária no Teorema do Ponto Fixo de Banach?
A convergência da iteração $x_{n+1}=T(x_n)$ no teorema de Banach é:
O método de Newton tem convergência:
Se $T$ é contração com $\lambda=0{,}5$ e $d(x_0,x_1)=1$, a estimativa a priori para $d(x_{10},x^*)$ é no máximo:
Qual é o ponto fixo de $T(x)=\frac{x+2/x}{2}$ em $(0,\infty)$?
Seja $T(x)=x/2+1$. Calcule o ponto fixo $x^*$.
Aplique uma iteração de Newton a $f(x)=x^2-3$ com $x_0=2$. Calcule $x_1$.
Se $\lambda=1/3$ e $d(x_0,x_1)=6$, calcule a estimativa a priori para $d(x_3,x^*)$.
Calcule $\cos(\cos(0))$ (duas iterações de $T(x)=\cos x$ a partir de $x_0=0$).
Aplique Newton a $f(x)=x^3-2$ com $x_0=1$. Calcule $x_1$.