Propriedades de Funções Contínuas

Álgebra de Funções Contínuas

Teorema. Se $f,g\colon E\to\mathbb{R}$ são contínuas em $p$, então:
1. $f+g$ é contínua em $p$.
2. $f\cdot g$ é contínua em $p$.
3. $\alpha f$ é contínua em $p$ para todo $\alpha\in\mathbb{R}$.
4. Se $g(p)\neq 0$, então $f/g$ é contínua em $p$.

Demonstração. Segue da caracterização sequencial: se $x_n\to p$, então $f(x_n)\to f(p)$ e $g(x_n)\to g(p)$, logo $(f+g)(x_n) = f(x_n)+g(x_n)\to f(p)+g(p)$, etc. $\square$

Exemplo 1. Todo polinômio $P(x) = a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ é contínuo em $\mathbb{R}$ (pois $x\mapsto x$ é contínua, e o conjunto das funções contínuas é fechado por soma e produto).

Exemplo 2. Toda função racional $P(x)/Q(x)$ é contínua no seu domínio ${x : Q(x)\neq 0}$.

Exemplo 3. $f(x)=\sqrt{x}$ é contínua em $[0,+\infty)$: em $p>0$, $|\sqrt{x}-\sqrt{p}| = \frac{|x-p|}{\sqrt{x}+\sqrt{p}} \le \frac{|x-p|}{\sqrt{p}}$, logo $\delta = \varepsilon\sqrt{p}$. Em $p=0$, $\sqrt{x}<\varepsilon$ se $x<\delta=\varepsilon^2$.