Propriedades da Integral e Funções Escada

Nesta lição deduzimos as propriedades algébricas da integral de Riemann e introduzimos funções escada.

Linearidade

Teorema. Se $f$ e $g$ são integráveis em $[a,b]$ e $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, então $\alpha f + \beta g$ é integrável e

$$\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g.$$

Demonstração (esboço para $\alpha f$). Se $\alpha \geq 0$: $U(\alpha f,P)=\alpha\,U(f,P)$ e $L(\alpha f,P)=\alpha\,L(f,P)$. Logo $U(\alpha f,P)-L(\alpha f,P)=\alpha[U(f,P)-L(f,P)]<\alpha\varepsilon$. Para a soma: usamos que refinar uma partição comum $P$ de $f$ e $g$ permite controlar $U-L$ de ambas. $\blacksquare$

Exemplo 1. $\int_0^1(3x+2)\,dx = 3\int_0^1 x\,dx + 2\int_0^1 1\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}+2\cdot 1=\frac{7}{2}$.

Exemplo 2. $\int_0^1(x^2-x)\,dx = \frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$.