Demonstre que se $f$ é integrável e $\alpha\geq 0$, então $\alpha f$ é integrável e $\int\alpha f=\alpha\int f$.
Demonstre que se $f,g$ são integráveis, então $f+g$ é integrável e $\int(f+g)=\int f+\int g$.
Demonstre a monotonicidade: se $f\leq g$ em $[a,b]$ e ambas integráveis, então $\int_a^b f\leq\int_a^b g$.
Prove a aditividade: se $f$ é integrável em $[a,b]$ e $c\in(a,b)$, então $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$.
Prove que toda função contínua em $[a,b]$ é Riemann-integrável.
Prove que se $f$ é integrável em $[a,b]$, $m\leq f(x)\leq M$, então $m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)$.
Prove que o produto $fg$ de funções integráveis é integrável.
Prove que toda função monótona $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ é integrável.
Prove que se $f$ é integrável e contínua em $[a,b]$, e $\int_a^b f=0$ com $f\geq 0$, então $f\equiv 0$.
Prove que toda função escada $\varphi$ é Riemann-integrável.
Qual propriedade da integral NÃO é consequência direta da linearidade?
Na prova de que funções contínuas são integráveis, qual propriedade é crucial?
Se $f\geq 0$ é integrável e $\int_a^b f=0$, podemos concluir que $f\equiv 0$?
Uma função escada $\varphi$ é integrável porque:
Se $f$ é integrável e $|f(x)|\leq M$, então $\left|\int_a^b f\right|\leq$?
Para provar que $fg$ é integrável quando $f,g$ são integráveis, o truque chave é:
Calcule $\int_0^1(3x+2)\,dx$.
Calcule $\int_0^2 x\,dx$ usando a fórmula $\int_0^b x\,dx=b^2/2$.
Calcule $\int_0^1(x^2-x)\,dx$.
Se $\varphi(x)=2$ para $x\in(0,1/3)$ e $\varphi(x)=5$ para $x\in(1/3,1)$, calcule $\int_0^1\varphi$.