Regra da Cadeia e Derivadas de Ordem Superior
Estudamos a regra da cadeia para composição de funções diferenciáveis em várias variáveis,
o teorema de Schwarz sobre permutação de derivadas parciais, a fórmula de Taylor e o
teorema do valor médio em várias variáveis.
Regra da Cadeia
Teorema (Regra da Cadeia). Sejam $U \subset \mathbb{R}^n$, $V \subset \mathbb{R}^m$ abertos,
$f: U \to V$ diferenciável em $a$ e $g: V \to \mathbb{R}^p$ diferenciável em $f(a)$.
Então $g \circ f$ é diferenciável em $a$ e
$$D(g \circ f)(a) = Dg(f(a)) \circ Df(a).$$
Em termos de matrizes jacobianas: $J(g \circ f)(a) = Jg(f(a)) \cdot Jf(a)$.
Demonstração. Defina $\varphi(h) = f(a+h) - f(a) - Df(a)h$ e $\psi(k) = g(b+k) - g(b) - Dg(b)k$,
onde $b = f(a)$. Então $|\varphi(h)|/|h| \to 0$ e $|\psi(k)|/|k| \to 0$.
Seja $k = f(a+h) - f(a) = Df(a)h + \varphi(h)$. Então
$$g(f(a+h)) - g(f(a)) = Dg(b)k + \psi(k) = Dg(b)[Df(a)h + \varphi(h)] + \psi(k).$$
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$$g(f(a+h)) - g(f(a)) - Dg(b)Df(a)h = Dg(b)\varphi(h) + \psi(k).$$
Temos $|Dg(b)\varphi(h)|/|h| \leq |Dg(b)| \cdot |\varphi(h)|/|h| \to 0$.
Para $\psi(k)$: como $f$ é diferenciável, $|k| \leq (|Df(a)|+1)|h|$ para $|h|$ pequeno.
Se $k \neq 0$: $|\psi(k)|/|h| = (|\psi(k)|/|k|)(|k|/|h|) \to 0$.
Se $k = 0$: $\psi(k) = 0$. Em ambos os casos, $|\psi(k)|/|h| \to 0$. $\square$