Resultados Avançados

Nesta lição estudamos resultados mais profundos: o Teorema Fundamental da Álgebra, a fórmula de Stirling, o produto de Wallis e a construção de Weierstrass de uma função contínua em toda parte mas diferenciável em nenhum ponto.

Teste Integral e Convergência de Integrais Impróprias

Recordação. Já demonstramos que $\sum f(n)$ e $\int_1^\infty f(x)\,dx$ têm o mesmo caráter quando $f$ é contínua, positiva e decrescente.

Definição. A integral imprópria $\int_a^{\infty}f(x)\,dx$ converge se $\lim_{T\to\infty}\int_a^T f(x)\,dx$ existe e é finito.

Exemplo 1. $\int_1^{\infty}e^{-x}\,dx = 1$ (converge).

Exemplo 2. $\int_1^{\infty}\frac{\sin x}{x^2}\,dx$ converge absolutamente, pois $\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|\le\frac{1}{x^2}$.