Demonstre que $|p(z)|\to\infty$ quando $|z|\to\infty$ para um polinômio $p$ de grau $n\ge 1$.
Demonstre o passo-chave do TFA: se $p(0)\neq 0$ e $|p(0)|=\min_z|p(z)|$, com $p(z)=p(0)+b_m z^m+\cdots$, $b_m\neq 0$, então $|p(0)|$ não é mínimo (contradição).
Demonstre o produto de Wallis: $\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{4k^2}{4k^2-1}$.
Demonstre que a série $\sum(3/4)^n\varphi(4^n x)$ converge uniformemente, onde $|\varphi|\le 1$.
Demonstre a relação de recorrência $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ para $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$.
Demonstre que a sequência $a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+1/2}}$ é monótona para $n$ suficientemente grande.
Demonstre que $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ usando a fórmula de Stirling.
Demonstre que todo polinômio de grau $n$ sobre $\mathbb{C}$ admite exatamente $n$ raízes (com multiplicidade).
Demonstre que se $\sum M_n<\infty$ e $f_n$ é contínua com $|f_n|\le M_n$, então $F=\sum f_n$ é contínua.
Mostre que $\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, dado o produto de Wallis.
Demonstre que a função de Weierstrass $f(x)=\sum(3/4)^n\varphi(4^n x)$ não é diferenciável em $x_0=0$.
O Teorema Fundamental da Álgebra garante raízes em:
Na construção de Weierstrass, a convergência uniforme da série garante:
A fórmula de Stirling afirma que $n!$ é assintoticamente proporcional a:
O produto de Wallis expressa $\pi/2$ como:
Na demonstração do TFA (via análise), o passo-chave usa:
Use Stirling para estimar $5!$. Calcule $\sqrt{10\pi}(5/e)^5$ (arredonde para inteiro).
Calcule $\prod_{k=1}^{3}\frac{4k^2}{4k^2-1}$ (3 primeiros fatores do produto de Wallis).
Quantas raízes (com multiplicidade) o polinômio $z^5-3z^3+z-1$ possui em $\mathbb{C}$?
Calcule $\binom{2\cdot 5}{5}$ e compare com $4^5/\sqrt{5\pi}\approx 1024/3{,}963$.