Exercícios

Prove que $f_n(x)=x^n$ converge pontualmente em $[0,1]$ para $f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1\1,&x=1\end{cases}$.

Prove que $f_n(x)=x^n$ não converge uniformemente em $[0,1]$.

Prove que se $f_n\to f$ uniformemente e cada $f_n$ é contínua, então $f$ é contínua.

Prove que $f_n(x)=\sin(nx)/n$ converge uniformemente para $0$ em $\mathbb{R}$.

Prove que $d_\infty(f,g)=\sup_{x\in E}|f(x)-g(x)|$ é uma métrica no espaço das funções limitadas de $E$ em $\mathbb{R}$.

Prove que $C(K)$ (funções contínuas em $K$ compacto) é completo com a métrica do supremo.

Prove que convergência uniforme implica convergência pontual.

Prove que $f_n(x)=x/n$ converge uniformemente em $[0,1]$ mas não em $\mathbb{R}$.

Mostre que existe uma curva contínua $\gamma\colon[0,1]\to[0,1]^2$ sobrejetora (curva de Peano).

Prove que uma curva contínua sobrejetora $\gamma\colon[0,1]\to[0,1]^2$ não pode ser injetiva.

Prove que se $f_n\to f$ uniformemente em $E$ e cada $f_n$ é limitada, então $f$ é limitada.

$f_n(x)=x^n$ em $[0,1]$: o limite pontual é contínuo?

A condição para que o limite de funções contínuas seja contínuo é:

Na métrica do supremo, $d_\infty(f,g)<\varepsilon$ significa geometricamente que:

A existência de curvas de Peano mostra que:

$C([0,1])$ com a métrica do supremo é:

Calcule $d_\infty(\sin,\cos)$ em $C([0,2\pi])$.

Calcule $d_\infty(x^2,x^3)$ em $C([0,1])$.

$f_n(x)=\frac{x}{1+nx^2}$. Calcule $\sup_{x\ge 0}f_n(x)$.

Se $f_n(x)=\sin(x/n)$ em $[0,\pi]$, calcule $d_\infty(f_n,0)=\sup_{x\in[0,\pi]}|\sin(x/n)|$ para $n=2$.