Séries Numéricas

Nesta lição, introduzimos o conceito de série infinita, estudamos critérios elementares de convergência e analisamos exemplos fundamentais: a série geométrica e a série harmônica.

Definições Básicas

Definição. Seja $(a_n){n \ge 1}$ uma sequência de números reais (ou complexos). A série $\sum{n=1}^{\infty} a_n$ é, por definição, a sequência das somas parciais

$$
S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n, \qquad N = 1, 2, 3, \ldots
$$

Dizemos que a série converge se a sequência $(S_N)$ converge em $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$). Nesse caso, escrevemos $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty} S_N$ e chamamos esse limite de soma da série. Caso contrário, a série diverge.

Observação. A convergência de $\sum a_n$ depende apenas do comportamento assintótico de $(a_n)$; modificar finitos termos não altera a convergência (embora possa alterar a soma).

Proposição (Condição necessária). Se $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge, então $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$.

Demonstração. Se $S_N \to S$, então $a_N = S_N - S_{N-1} \to S - S = 0$. $\blacksquare$

A recíproca é falsa, como mostra a série harmônica.