Demonstre a fórmula de Hadamard: se $1/R=\limsup|a_n|^{1/n}$, então $\sum a_n x^n$ converge absolutamente para $|x|
Demonstre o teste M de Weierstrass: se $|f_n(x)|\le M_n$ para todo $x\in E$ e $\sum M_n<\infty$, então $\sum f_n$ converge uniformemente em $E$.
Demonstre que o limite uniforme de funções contínuas é contínuo.
Demonstre que a série derivada $\sum na_n x^{n-1}$ tem o mesmo raio de convergência que $\sum a_n x^n$.
Demonstre a fórmula de integração termo a termo para séries de potências: se $|x|<R$, $\int_0^x\sum a_n t^n\,dt=\sum\frac{a_n x^{n+1}}{n+1}$.
Demonstre o teorema de Mertens: se $\sum a_n=A$ converge absolutamente e $\sum b_n=B$ converge, então o produto de Cauchy converge para $AB$.
Mostre que se $f(x)=\sum a_n x^n$ com raio $R>0$, então $f$ é infinitamente diferenciável em $(-R,R)$ e $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$.
Demonstre que a série $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ converge uniformemente em todo compacto de $\mathbb{R}$.
Mostre que se $\sum a_n x^n$ e $\sum b_n x^n$ têm raios $>0$ e coincidem em um intervalo $(-\delta,\delta)$, então $a_n=b_n$ para todo $n$ (princípio da identidade).
Demonstre que a série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ converge para $-\ln(1-x)$ em $|x|<1$.
Demonstre o teorema de Abel: se $\sum a_n$ converge, então $\lim_{x\to 1^-}\sum a_n x^n=\sum a_n$.
O raio de convergência de $\sum\frac{x^n}{n}$ é:
A convergência de $\sum a_n x^n$ em $|x|<R$ é uniforme em:
Se $\sum a_n x^n$ tem raio $R$, a série $\sum na_n x^{n-1}$ tem raio:
A convergência uniforme de $\sum f_n$ garante que se cada $f_n$ é contínua, então $\sum f_n$ é:
A série $\sum n! x^n$ tem raio de convergência:
Calcule o raio de convergência de $\sum\frac{x^n}{n^2}$.
Calcule o raio de convergência de $\sum\frac{2^n x^n}{n}$.
Calcule $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n\cdot n!}$ (i.e., $e^{1/2}$) com 3 casas decimais.
Calcule $\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{3}\right)^n$ usando a fórmula $\sum nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$.