Supremo, Ínfimo e Completude

Limitantes Superiores e Inferiores

Definição. Seja $S$ um subconjunto não vazio de um corpo ordenado $F$.
- $M \in F$ é um limitante superior (ou cota superior) de $S$ se $s \leq M$ para todo $s \in S$.
- $m \in F$ é um limitante inferior (ou cota inferior) de $S$ se $m \leq s$ para todo $s \in S$.
- $S$ é limitado superiormente se possui um limitante superior, limitado inferiormente se possui um limitante inferior, e limitado se possui ambos.

Exemplo 1. $S = {1/n : n \in \mathbb{N}} = {1, 1/2, 1/3, \ldots}$. O número $1$ é um limitante superior, assim como $2$ e $100$. O número $0$ é um limitante inferior, assim como $-5$.

Exemplo 2. $S = (0, 1) = {x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1}$. Qualquer número $\geq 1$ é limitante superior; qualquer número $\leq 0$ é limitante inferior.

Exemplo 3. $\mathbb{N}$ não é limitado superiormente (será consequência da propriedade arquimediana).