Prove que $\sup{1 - 1/n : n \in \mathbb{N}} = 1$.
Prove que $\inf{1/n : n \in \mathbb{N}} = 0$.
Prove a propriedade arquimediana de $\mathbb{R}$: para quaisquer $a, b \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $na > b$.
Prove que, entre quaisquer dois reais distintos, existe um racional (densidade de $\mathbb{Q}$ em $\mathbb{R}$).
Prove: se $S \subset \mathbb{R}$ é não vazio e limitado superiormente, e $\alpha = \sup S$, então para todo $\varepsilon > 0$ existe $s \in S$ com $s > \alpha - \varepsilon$.
Prove: se $A, B \subset \mathbb{R}$ são não vazios e limitados superiormente, e $C = {a + b : a \in A, b \in B}$, então $\sup C = \sup A + \sup B$.
Prove: se $S \subset \mathbb{R}$ é não vazio e limitado superiormente, então $\sup(-S) = -\inf S$, onde $-S = {-s : s \in S}$. (Supondo que $\inf S$ existe.)
Prove que, se $S \subset \mathbb{R}$ é não vazio e limitado e $c > 0$, então $\sup(cS) = c \cdot \sup S$, onde $cS = {cs : s \in S}$.
Prove: se $\sup S = \alpha$ e $\alpha \notin S$, então para todo $\varepsilon > 0$ existem infinitos elementos de $S$ no intervalo $(\alpha - \varepsilon, \alpha)$.
Prove que $\mathbb{N}$ não é limitado superiormente em $\mathbb{R}$.
Prove que entre dois reais distintos existe um irracional.
Qual é $\sup(0, 1)$ em $\mathbb{R}$?
$\mathbb{Q}$ satisfaz o axioma da completude?
Qual é a diferença entre $\sup S$ e $\max S$?
A propriedade arquimediana é consequência de qual axioma?
Se $S = {(-1)^n (1 + 1/n) : n \in \mathbb{N}}$, quais são $\inf S$ e $\sup S$?
Calcule $\sup{n/(n+1) : n \in \mathbb{N}}$.
Calcule $\inf{2 + 1/n : n \in \mathbb{N}}$.
Seja $S = {1/2^n : n \in \mathbb{N} \cup {0}} = {1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots}$. Calcule $\sup S + \inf S$.
Encontre o menor $n \in \mathbb{N}$ tal que $1/n < 0{,}01$.