Séries de Taylor e Funções Elementares

Nesta lição desenvolvemos a teoria das séries de Taylor, definimos as funções elementares (exponencial, trigonométricas) via séries de potências e estudamos a série binomial e a exponencial complexa.

Série de Taylor

Definição. Se $f$ é infinitamente diferenciável em um intervalo contendo $c$, a série de Taylor de $f$ centrada em $c$ é
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n.
$$

Teorema (Taylor com resto). Se $f\in C^{n+1}([a,b])$ e $c\in[a,b]$, então para $x\in[a,b]$:
$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k + R_n(x),
$$
onde $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}$ para algum $\xi$ entre $c$ e $x$ (forma de Lagrange).

Observação crucial. A série de Taylor pode convergir sem convergir para $f$. A função $f(x)=e^{-1/x^2}$ (com $f(0)=0$) tem todas as derivadas nulas em $0$, logo sua série de Taylor em $0$ é identicamente nula, mas $f\not\equiv 0$.