Demonstre que $e^{x+y}=e^x e^y$ usando o produto de Cauchy das séries de potências.
Demonstre que $(e^x)'=e^x$ usando diferenciação termo a termo.
Demonstre que $(\sin x)'=\cos x$ e $(\cos x)'=-\sin x$.
Demonstre que $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ para todo $x\in\mathbb{R}$.
Demonstre a fórmula de Euler: $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.
Demonstre que a série binomial $\sum\binom{\alpha}{n}x^n$ satisfaz $(1+x)g'(x)=\alpha g(x)$.
Demonstre que $f(x)=e^{-1/x^2}$ (com $f(0)=0$) tem $f^{(n)}(0)=0$ para todo $n\ge 0$.
Demonstre que $e$ é irracional.
Demonstre a fórmula de Taylor com resto integral: $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{1}{n!}\int_a^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t)\,dt$.
Mostre que para $|x|\le 1$, $\left|\sin x - \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right|\le\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}$.
Demonstre que $\ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ usando o teorema de Abel.
A série de Taylor de $f(x)=e^{-1/x^2}$ em $x=0$ converge para $f(x)$?
A fórmula de Euler $e^{i\pi}+1=0$ relaciona quais constantes?
Para a série binomial $\sum\binom{\alpha}{n}x^n$, o raio de convergência é:
Qual hipótese é essencial para que a série de Taylor de $f$ convirja para $f$?
A função $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ satisfaz:
Calcule $\cos(0)$ usando a série.
Calcule $\binom{1/2}{2}=\frac{(1/2)(1/2-1)}{2!}$.
Calcule $\sin(\pi/6)$ usando os 3 primeiros termos da série de Taylor ($x=\pi/6\approx 0{,}5236$).
Calcule $|e^{i\pi/3}|$.