Técnicas de Integração e Funções Elementares

Nesta lição desenvolvemos as técnicas de substituição e integração por partes, e definimos rigorosamente o logaritmo natural e a exponencial via integrais.

Substituição (mudança de variável)

Teorema. Seja $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ com derivada contínua e $f$ contínua na imagem de $g$. Então:

$$\int_a^b f(g(t))\,g'(t)\,dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

Demonstração. Seja $F$ uma primitiva de $f$ (existe pelo TFC 1, pois $f$ é contínua). Então $(F\circ g)'(t)=F'(g(t))\,g'(t)=f(g(t))\,g'(t)$ (regra da cadeia). Pelo TFC 2:

$$\int_a^b f(g(t))g'(t)\,dt = F(g(b))-F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.\quad\blacksquare$$

Exemplo 1. $\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. Substitua $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, $u(0)=1$, $u(1)=2$:

$$= \int_1^2 u^3\,du = \frac{u^4}{4}\bigg|_1^2 = 4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}.$$