Demonstre o Teorema de Rolle: se $f$ é contínua em $[a,b]$, diferenciável em $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$, então existe $c\in(a,b)$ com $f'(c)=0$.
Demonstre o Teorema do Valor Médio.
Prove que se $f'(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$ e $f$ é contínua em $[a,b]$, então $f$ é estritamente crescente.
Demonstre o Teorema do Valor Médio de Cauchy.
Demonstre a regra de L'Hôpital para o caso $0/0$: se $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0$, $g'(x)\neq 0$ perto de $a$, e $\lim_{x\to a^+}f'(x)/g'(x)=L$, então $\lim_{x\to a^+}f(x)/g(x)=L$.
Prove que $\sin x \leq x$ para todo $x \geq 0$, usando o TVM.
Prove que se $f$ é duas vezes diferenciável em $(a,b)$, $f(a)=f(b)=0$ e $f$ atinge máximo em $c\in(a,b)$, então $f''(c)\leq 0$.
Prove que entre duas raízes consecutivas de $f'$ há no máximo uma raiz de $f$ (supondo $f$ diferenciável).
Prove a desigualdade do valor médio: se $f$ é diferenciável em $(a,b)$, contínua em $[a,b]$, e $m\leq f'(x)\leq M$ para todo $x\in(a,b)$, então $m(b-a)\leq f(b)-f(a)\leq M(b-a)$.
Prove que o polinômio $p(x)=x^3+x+1$ tem exatamente uma raiz real.
Use a regra de L'Hôpital para provar rigorosamente que $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}$, justificando cada aplicação.
No Teorema de Rolle, qual hipótese pode ser removida sem invalidar o resultado?
A função $g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)$ é usada na prova do TVM. Por quê?
Na regra de L'Hôpital, qual hipótese sobre $g'$ é indispensável?
Se $f'(x) \geq 0$ em $(a,b)$ e $f'(c)=0$ para algum $c\in(a,b)$, o que se pode concluir?
Qual é a ideia essencial por trás do TVM de Cauchy comparado ao TVM clássico?
Para $f(x)=x^2-4x+3$ em $[1,3]$, encontre o $c$ do Teorema de Rolle.
Para $f(x)=x^3$ em $[0,3]$, calcule o valor de $c$ do TVM. Dê a resposta como $c=\sqrt{3}$ (valor numérico com 4 casas).
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$ usando L'Hôpital.
Calcule $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$.