Testes de Convergência
Nesta lição, apresentamos os principais testes de convergência para séries de termos positivos: teste da razão, teste da raiz e teste integral.
Teste da Razão (D'Alembert)
Teorema. Seja $\sum a_n$ uma série com $a_n > 0$ para todo $n$.
- Se $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, a série converge.
- Se $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ para todo $n$ suficientemente grande, a série diverge.
Demonstração. (1) Seja $L = \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$. Escolha $r$ com $L < r < 1$. Existe $N$ tal que $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le r$ para $n \ge N$. Logo $a_{N+k} \le a_N r^k$, e $\sum a_{N+k} \le a_N \sum r^k < \infty$.
(2) Se $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ para $n \ge N$, então $(a_n)$ é não-decrescente a partir de $N$, logo $a_n \not\to 0$ e a série diverge. $\blacksquare$
Exemplo 1. $\sum \frac{n}{2^n}$: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1$. Converge.
Exemplo 2. $\sum \frac{n!}{n^n}$: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to e^{-1} < 1$. Converge.