Exercícios

Prove que $|ab| = |a| \cdot |b|$ para quaisquer $a, b$ em um corpo ordenado.

Prove a desigualdade triangular: $|a + b| \leq |a| + |b|$.

Prove a desigualdade triangular reversa: $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$.

Prove que $|a| \leq \varepsilon$ se e somente se $-\varepsilon \leq a \leq \varepsilon$ (para $\varepsilon > 0$).

Prove que, para quaisquer $a_1, \ldots, a_n$: $|a_1 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + \cdots + |a_n|$.

Prove que, se $|a - b| < \varepsilon$ para todo $\varepsilon > 0$, então $a = b$.

Prove que $|a^2 - b^2| \leq (|a| + |b|)|a - b|$ para quaisquer $a, b \in \mathbb{R}$.

Prove que $\big||a| - |b|\big| \leq |a + b|$ para quaisquer $a, b$.

Prove a desigualdade triangular para três termos diretamente: $|a + b + c| \leq |a| + |b| + |c|$.

Prove que, para $a, b > 0$: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$. (Desigualdade AM-GM para dois termos.)

Prove que, para $a, b \geq 0$: $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ (desigualdade AM-GM). (Pode usar que a raiz quadrada existe para não-negativos.)

Qual é o conjunto solução de $|3x - 6| \leq 9$?

A desigualdade triangular reversa afirma que:

Qual afirmação é falsa?

Na demonstração de que $|a+b| \leq |a| + |b|$, o passo-chave é observar que:

Se $|x - 2| < \delta$ e $\delta = 0{,}01$, qual intervalo contém $x$?

Calcule $|(-7) \cdot 3|$.

Resolva $|2x - 1| = 5$. Qual é a soma das soluções?

Calcule $\big||8| - |-3|\big|$.

Calcule $|2 - \pi| + |\pi - 4|$ (use $\pi \approx 3{,}14159$). Dê o valor exato.