Valor Intermediário e Conexidade

Imagem Contínua de Conexos

Teorema. Se $f\colon E\to F$ é contínua e $E$ é conexo, então $f(E)$ é conexo.

Demonstração. Suponha $f(E)=U\cup V$ com $U,V$ abertos (em $f(E)$), disjuntos e não vazios. Então $E = f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$, com $f^{-1}(U),f^{-1}(V)$ abertos (pré-imagem de aberto por contínua é aberto), disjuntos e não vazios, contradizendo a conexidade de $E$. $\square$

Corolário. Se $f\colon E\to\mathbb{R}$ é contínua e $E$ é conexo, então $f(E)$ é um intervalo.

Exemplo 1. $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. $[0,1]$ é conexo, logo $f([0,1])=[0,1]$ é conexo (e de fato é um intervalo).

Exemplo 2. $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\sin(x)$. $\mathbb{R}$ é conexo, logo $f(\mathbb{R})=[-1,1]$ é um intervalo.

Exemplo 3. $f\colon S^1\to\mathbb{R}$, $f(\cos\theta,\sin\theta)=\cos\theta$ é contínua e $S^1$ é conexo, logo $f(S^1)=[-1,1]$.