Prove que a imagem contínua de um conjunto conexo é conexa.
Prove o Teorema do Valor Intermediário: se $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ é contínua e $f(a)<c<f(b)$, existe $x_0\in(a,b)$ com $f(x_0)=c$.
Prove que todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
Prove que se $f\colon[0,1]\to[0,1]$ é contínua, então $f$ tem ponto fixo.
Prove que $d(x,S)=\inf{d(x,s):s\in S}$ é uniformemente contínua.
Prove que todo conjunto convexo em $\mathbb{R}^n$ é conexo por caminhos.
Prove que conexo por caminhos implica conexo.
Prove que $\mathbb{R}^n\setminus{0}$ é conexo por caminhos para $n\ge 2$.
Prove que se $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ é contínua e $f(a)f(b)<0$, então $f$ tem raiz em $(a,b)$.
Prove que $\text{diam}(S)=\text{diam}(\overline{S})$ para qualquer $S\subseteq E$.
Prove que se $S$ é denso em $E$ e $f,g\colon E\to F$ são contínuas com $f|_S=g|_S$, e $F$ é Hausdorff, então $f=g$.
O TVI pode ser demonstrado usando:
A equação $x^5-3x+1=0$ tem raiz em $(0,1)$ porque:
$\mathbb{R}^2\setminus{0}$ é conexo. $\mathbb{R}\setminus{0}$ é conexo?
Se $f\colon[0,1]\to[0,1]$ é contínua, pelo TVI podemos concluir que $f$ tem:
Qual afirmação sobre $d(x,S)$ é falsa?
$f(x)=x^3-x-1$. Calcule $f(1)$ e $f(2)$ para aplicar o TVI.
Calcule $d((1,1),S)$ onde $S={(x,0):x\in\mathbb{R}}$ (eixo $x$) na métrica euclidiana.
Calcule $\text{diam}({(x,y):x^2+y^2=1})$ na métrica euclidiana.
$f(x)=\cos x$ em $[0,\pi/2]$. $f(0)=1>0$ e $f(\pi/2)=0$. Pelo TVI, existe $x_0$ com $f(x_0)=0.5$. Qual é $x_0$?