Congruência de triângulos

O que é congruência?

Duas figuras são congruentes quando têm exatamente a mesma forma e o mesmo tamanho. Podemos sobrepor uma na outra perfeitamente.

Para triângulos, isso significa que os 3 lados e os 3 ângulos correspondentes são iguais.

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

significa: $AB = DE$, $BC = EF$, $AC = DF$, $\hat{A} = \hat{D}$, $\hat{B} = \hat{E}$, $\hat{C} = \hat{F}$.

A boa notícia: não precisamos verificar todos os 6 elementos. Basta verificar 3 deles, desde que satisfaçam um dos casos de congruência.

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Caso LAL — Lado, Ângulo, Lado

Dois triângulos são congruentes se dois lados e o ângulo entre eles são iguais.

Exemplo 1: Se $AB = DE = 5$ cm, $BC = EF = 7$ cm, e $\hat{B} = \hat{E} = 60°$, então $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ pelo caso LAL.

Exemplo 2: Um losango tem todos os lados iguais. Sua diagonal divide-o em dois triângulos. Os dois triângulos compartilham a diagonal (lado comum) e cada um tem dois lados do losango. Como o ângulo entre esses lados é o mesmo, os triângulos são congruentes por LAL.

Atenção: O ângulo precisa estar entre os dois lados conhecidos. Se o ângulo for oposto, o caso LAL não se aplica!

Contraexemplo: Conhecer dois lados e um ângulo que NÃO está entre eles não garante congruência — podem existir dois triângulos diferentes com essas medidas.

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Caso ALA — Ângulo, Lado, Ângulo

Dois triângulos são congruentes se dois ângulos e o lado entre eles são iguais.

Exemplo 3: Se $\hat{A} = \hat{D} = 40°$, $AB = DE = 8$ cm, e $\hat{B} = \hat{E} = 70°$, então $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ pelo caso ALA.

Note que se conhecemos dois ângulos, o terceiro fica determinado (a soma é $180°$):

$$\hat{C} = 180° - 40° - 70° = 70°$$

Exemplo 4: Dois postes de altura diferente projetam sombras no chão. Os triângulos formados pelos postes, sombras e raios de sol têm os mesmos ângulos. Se as sombras têm o mesmo comprimento, os triângulos são congruentes por ALA.

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Caso LLL — Lado, Lado, Lado

Dois triângulos são congruentes se os três lados correspondentes são iguais.

Exemplo 5: Se $AB = DE = 5$ cm, $BC = EF = 7$ cm, e $AC = DF = 8$ cm, então $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ pelo caso LLL.

Este caso é intuitivo: se fixamos os três lados, o triângulo fica completamente determinado — não há como "deformar" sem mudar algum lado.

Exemplo 6: Uma treliça triangular de ponte usa barras de aço. Se duas seções triangulares usam barras com os mesmos comprimentos (3m, 4m e 5m), os triângulos são congruentes por LLL, garantindo que a estrutura é simétrica.

Exemplo 7: Um triângulo equilátero com lado 6 cm é sempre congruente a qualquer outro triângulo equilátero com lado 6 cm (por LLL, com os três lados iguais a 6 cm).

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Caso LAAo — Lado, Ângulo, Ângulo oposto

Dois triângulos são congruentes se têm um lado, um ângulo adjacente a esse lado, e o ângulo oposto a esse lado iguais.

Exemplo 8: Se $BC = EF = 10$ cm, $\hat{B} = \hat{E} = 50°$ (adjacente a $BC$) e $\hat{A} = \hat{D} = 65°$ (oposto a $BC$), então $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ pelo caso LAAo.

Na prática, como conhecer dois ângulos determina o terceiro, o caso LAAo é equivalente ao ALA. Se $\hat{B} = 50°$ e $\hat{A} = 65°$, então:

$$\hat{C} = 180° - 50° - 65° = 65°$$

Agora temos $\hat{B}$, $BC$, $\hat{C}$ — que é exatamente o caso ALA.

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Aplicação: propriedades de paralelogramos

A congruência de triângulos permite demonstrar propriedades de quadriláteros.

Lados opostos de um paralelogramo são iguais

Demonstração:

Considere o paralelogramo $ABCD$ com a diagonal $AC$.

1. $AC$ é lado comum aos triângulos $\triangle ABC$ e $\triangle CDA$
2. Como $AB \parallel CD$, os ângulos $\hat{BAC} = \hat{DCA}$ (alternos internos)
3. Como $BC \parallel AD$, os ângulos $\hat{BCA} = \hat{DAC}$ (alternos internos)
4. Pelo caso ALA: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$
5. Logo: $AB = CD$ e $BC = DA$ (lados correspondentes) ∎

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Mais propriedades demonstradas por congruência

As diagonais de um paralelogramo dividem-se ao meio

Seja $M$ o ponto de interseção das diagonais de $ABCD$.

1. $AB \parallel CD \implies \hat{ABM} = \hat{CDM}$ (alternos internos)
2. $AB \parallel CD \implies \hat{BAM} = \hat{DCM}$ (alternos internos)
3. Já provamos que $AB = CD$
4. Por ALA: $\triangle ABM \cong \triangle CDM$
5. Logo: $AM = CM$ e $BM = DM$ ∎

As diagonais de um retângulo são iguais

1. No retângulo $ABCD$: $AB = CD$ (lados opostos) e $BC = BC$ (lado comum)
2. $\hat{ABC} = \hat{DCB} = 90°$
3. Por LAL: $\triangle ABC \cong \triangle DCB$
4. Logo: $AC = DB$ (diagonais correspondentes) ∎

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Identificando o caso de congruência

Para decidir qual caso usar, verifique o que é dado:

Dados conhecidos	Caso	Condição
2 lados + 1 ângulo	LAL	O ângulo está entre os lados
2 ângulos + 1 lado	ALA	O lado está entre os ângulos
2 ângulos + 1 lado	LAAo	O lado não está entre os ângulos
3 lados	LLL	—

Exemplo 9: Sabemos que $AB = PQ$, $\hat{A} = \hat{P}$ e $AC = PR$. Qual caso? O ângulo $\hat{A}$ está entre os lados $AB$ e $AC$ → LAL.

Exemplo 10: Sabemos que $AB = PQ$, $\hat{A} = \hat{P}$ e $\hat{B} = \hat{Q}$. Qual caso? O lado $AB$ está entre os ângulos $\hat{A}$ e $\hat{B}$ → ALA.

Exemplo 11: Sabemos que $AB = DE = 5$, $BC = EF = 8$, $CA = FD = 6$. Qual caso? Três lados → LLL.

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Resumo

Caso	Elementos	Condição especial
LAL	2 lados + 1 ângulo	Ângulo entre os lados
ALA	2 ângulos + 1 lado	Lado entre os ângulos
LLL	3 lados	—
LAAo	1 lado + 2 ângulos	Ângulo oposto ao lado

Ideias centrais:
1. Congruência = mesma forma e mesmo tamanho
2. Basta verificar 3 elementos (com o caso correto) em vez de 6
3. A congruência de triângulos é ferramenta para demonstrar propriedades de outros polígonos
4. Sempre identifique a posição relativa dos elementos (o ângulo está entre os lados? o lado está entre os ângulos?)