Dízimas periódicas e frações geratrizes

Dízimas periódicas

Uma dízima periódica é um número decimal que possui uma sequência de algarismos que se repete infinitamente. Usamos uma barra sobre os algarismos que se repetem.

Exemplos:
- $0{,}333... = 0{,}\overline{3}$
- $0{,}272727... = 0{,}\overline{27}$
- $1{,}666... = 1{,}\overline{6}$
- $0{,}142857142857... = 0{,}\overline{142857}$

Toda dízima periódica é um número racional — pode ser escrita como fração.

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Tipos de dízimas

Dízima simples

A repetição começa logo após a vírgula:

• $0{,}\overline{3} = 0{,}333...$
• $0{,}\overline{14} = 0{,}141414...$
• $0{,}\overline{6} = 0{,}666...$
• $0{,}\overline{123} = 0{,}123123123...$

Dízima composta

Há algarismos não repetitivos antes do período:

• $0{,}1\overline{6} = 0{,}1666...$ (o 1 não se repete, o 6 se repete)
• $2{,}8\overline{3} = 2{,}8333...$ (o 8 não se repete, o 3 se repete)
• $0{,}41\overline{6} = 0{,}41666...$
• $1{,}2\overline{45} = 1{,}245454545...$

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Fração geratriz — dízima simples (1 algarismo)

Para encontrar a fração que gera uma dízima simples, usamos um truque algébrico.

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}\overline{3}$

1. Chame $x = 0{,}333...$
2. Multiplique por 10: $10x = 3{,}333...$
3. Subtraia: $10x - x = 3{,}333... - 0{,}333...$
4. Simplifique: $9x = 3$
5. Resolva: $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Conferindo: $1 \div 3 = 0{,}333...$ ✓

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}\overline{6}$

1. $x = 0{,}666...$
2. $10x = 6{,}666...$
3. $9x = 6$
4. $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Conferindo: $2 \div 3 = 0{,}666...$ ✓

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Fração geratriz — dízima simples (2+ algarismos)

Quando o período tem 2 algarismos, multiplicamos por 100. Com 3 algarismos, por 1000.

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}\overline{27}$

1. $x = 0{,}272727...$
2. $100x = 27{,}2727...$
3. $99x = 27$
4. $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}\overline{45}$

1. $x = 0{,}454545...$
2. $100x = 45{,}4545...$
3. $99x = 45$
4. $x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}\overline{142857}$

1. $x = 0{,}142857142857...$
2. $1000000x = 142857{,}142857...$
3. $999999x = 142857$
4. $x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$

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O atalho para dízimas simples

Percebeu o padrão? O denominador é formado por 9s — um 9 para cada algarismo do período:

Dízima	Fração	Simplificada
$0{,}\overline{3}$	$\frac{3}{9}$	$\frac{1}{3}$
$0{,}\overline{7}$	$\frac{7}{9}$	$\frac{7}{9}$
$0{,}\overline{27}$	$\frac{27}{99}$	$\frac{3}{11}$
$0{,}\overline{45}$	$\frac{45}{99}$	$\frac{5}{11}$
$0{,}\overline{123}$	$\frac{123}{999}$	$\frac{41}{333}$

Regra: $0{,}\overline{\text{período}} = \frac{\text{período}}{\underbrace{99...9}_{\text{tantos 9s quantos algarismos}}}$

Mais exemplos rápidos:
- $0{,}\overline{5} = \frac{5}{9}$
- $0{,}\overline{18} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$
- $0{,}\overline{9} = \frac{9}{9} = 1$ (surpresa! $0{,}999... = 1$)

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Fração geratriz — dízima composta

Quando há algarismos antes do período, o processo requer duas multiplicações.

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}1\overline{6}$

1. $x = 0{,}1666...$
2. Multiplique por 10 (para empurrar o "1"): $10x = 1{,}666...$
3. Multiplique por 100: $100x = 16{,}666...$
4. Subtraia: $100x - 10x = 16{,}666... - 1{,}666...$
5. $90x = 15$
6. $x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$

Conferindo: $1 \div 6 = 0{,}1666...$ ✓

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}8\overline{3}$

1. $x = 0{,}8333...$
2. $10x = 8{,}333...$
3. $100x = 83{,}333...$
4. $100x - 10x = 75$
5. $90x = 75$
6. $x = \frac{75}{90} = \frac{5}{6}$

Conferindo: $5 \div 6 = 0{,}8333...$ ✓

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Dízimas compostas — mais exemplos

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $0{,}41\overline{6}$

1. $x = 0{,}41666...$
2. $100x = 41{,}666...$ (empurramos os 2 algarismos não periódicos)
3. $1000x = 416{,}666...$
4. $1000x - 100x = 375$
5. $900x = 375$
6. $x = \frac{375}{900} = \frac{5}{12}$

Exemplo: Encontre a fração geratriz de $2{,}8\overline{3}$

Para dízimas com parte inteira, separe: $2 + 0{,}8\overline{3}$

Já sabemos que $0{,}8\overline{3} = \frac{5}{6}$

Logo: $2{,}8\overline{3} = 2 + \frac{5}{6} = \frac{12}{6} + \frac{5}{6} = \frac{17}{6}$

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Da fração para a dízima

Para verificar, basta dividir o numerador pelo denominador:

• $\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0{,}\overline{3}$
• $\frac{2}{11} = 2 \div 11 = 0{,}\overline{18}$
• $\frac{1}{7} = 1 \div 7 = 0{,}\overline{142857}$
• $\frac{5}{6} = 5 \div 6 = 0{,}8\overline{3}$

Quando uma fração gera dízima periódica? Quando o denominador (simplificado) tem fatores primos além de 2 e 5.

• $\frac{1}{4} = 0{,}25$ (decimal exato — denominador $4 = 2^2$)
• $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$ (dízima — denominador 3)
• $\frac{1}{6} = 0{,}1\overline{6}$ (dízima composta — denominador $6 = 2 \times 3$)
• $\frac{1}{8} = 0{,}125$ (decimal exato — denominador $8 = 2^3$)

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Resumo

Tipo	Exemplo	Como achar a fração
Dízima simples	$0{,}\overline{27}$	$\frac{27}{99} = \frac{3}{11}$
Dízima composta	$0{,}1\overline{6}$	Duas multiplicações → $\frac{1}{6}$
Com parte inteira	$2{,}8\overline{3}$	Parte inteira + fração da parte decimal

Ideias centrais:
1. Toda dízima periódica é um número racional (pode ser escrita como fração)
2. Dízima simples: denominador com 9s
3. Dízima composta: processo com duas multiplicações
4. Frações com denominador contendo apenas 2 e 5 geram decimais exatos