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Equações do 1º grau

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Resumo

Tipo Exemplo Estratégia
Um passo $x + 8 = 15$ Operação inversa
Dois passos $3x + 7 = 22$ Isolar $x$, depois dividir
$x$ dos dois lados $5x + 3 = 2x + 18$ Agrupar $x$ de um lado, números do outro
Com parênteses $2(x-3) = x + 1$ Distribuir primeiro
Com frações $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 10$ Multiplicar pelo MMC
Problemas "A soma é 47..." Traduzir para equação

Sempre verifique substituindo a solução na equação original!

O que é uma equação do 1º grau?

Uma equação do 1º grau é uma igualdade com uma incógnita (valor desconhecido) que aparece com expoente 1.

$$ax + b = 0 \quad (a \neq 0)$$

Exemplos de equações do 1º grau:
- $2x + 3 = 7$
- $5x - 10 = 0$
- $3x + 1 = x + 9$

Resolver a equação significa encontrar o valor de $x$ que torna a igualdade verdadeira.

Princípios de equivalência

Podemos transformar uma equação sem alterar sua solução usando dois princípios:

Princípio aditivo

Podemos somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados.

$$x + 5 = 12 \implies x + 5 - 5 = 12 - 5 \implies x = 7$$

Princípio multiplicativo

Podemos multiplicar ou dividir os dois lados pelo mesmo valor (não nulo).

$$3x = 15 \implies \frac{3x}{3} = \frac{15}{3} \implies x = 5$$

Na prática, dizemos que um termo "passa para o outro lado trocando de sinal" (aditivo) ou "trocando de operação" (multiplicativo).

Equações simples — passo a passo

Exemplo 1: Resolva $x + 8 = 15$

$$x = 15 - 8 = 7$$

Verificação: $7 + 8 = 15$ ✓

Exemplo 2: Resolva $x - 4 = 10$

$$x = 10 + 4 = 14$$

Verificação: $14 - 4 = 10$ ✓

Exemplo 3: Resolva $5x = 30$

$$x = \frac{30}{5} = 6$$

Verificação: $5 \cdot 6 = 30$ ✓

Exemplo 4: Resolva $\frac{x}{3} = 7$

$$x = 7 \times 3 = 21$$

Verificação: $\frac{21}{3} = 7$ ✓

Equações com dois passos

Exemplo 5: Resolva $3x + 7 = 22$

  1. Isolar o termo com $x$: $3x = 22 - 7 = 15$
  2. Dividir por 3: $x = \frac{15}{3} = 5$

Verificação: $3(5) + 7 = 15 + 7 = 22$ ✓

Exemplo 6: Resolva $4x - 9 = 11$

  1. $4x = 11 + 9 = 20$
  2. $x = \frac{20}{4} = 5$

Verificação: $4(5) - 9 = 20 - 9 = 11$ ✓

Exemplo 7: Resolva $\frac{x}{2} + 3 = 10$

  1. $\frac{x}{2} = 10 - 3 = 7$
  2. $x = 7 \times 2 = 14$

Verificação: $\frac{14}{2} + 3 = 7 + 3 = 10$ ✓

Equações com incógnita dos dois lados

Quando $x$ aparece nos dois lados, agrupamos os termos com $x$ de um lado e os números do outro.

Exemplo 8: Resolva $5x + 3 = 2x + 18$

  1. Termos com $x$ para a esquerda: $5x - 2x = 18 - 3$
  2. Simplificar: $3x = 15$
  3. Dividir: $x = 5$

Verificação: $5(5) + 3 = 28$ e $2(5) + 18 = 28$ ✓

Exemplo 9: Resolva $7x - 4 = 3x + 12$

  1. $7x - 3x = 12 + 4$
  2. $4x = 16$
  3. $x = 4$

Verificação: $7(4) - 4 = 24$ e $3(4) + 12 = 24$ ✓

Exemplo 10: Resolva $2x + 10 = 8x - 2$

  1. $2x - 8x = -2 - 10$
  2. $-6x = -12$
  3. $x = \frac{-12}{-6} = 2$

Verificação: $2(2) + 10 = 14$ e $8(2) - 2 = 14$ ✓

Equações com parênteses

Primeiro, distribua (elimine os parênteses). Depois, resolva normalmente.

Exemplo 11: Resolva $2(x - 3) + 4 = 3x - 1$

  1. Distribuir: $2x - 6 + 4 = 3x - 1$
  2. Simplificar: $2x - 2 = 3x - 1$
  3. Agrupar: $2x - 3x = -1 + 2$
  4. Simplificar: $-x = 1 \implies x = -1$

Verificação: $2(-1-3) + 4 = 2(-4) + 4 = -4$ e $3(-1) - 1 = -4$ ✓

Exemplo 12: Resolva $3(2x + 1) = 5(x + 2)$

  1. Distribuir: $6x + 3 = 5x + 10$
  2. $6x - 5x = 10 - 3$
  3. $x = 7$

Verificação: $3(2 \cdot 7 + 1) = 3(15) = 45$ e $5(7 + 2) = 5(9) = 45$ ✓

Equações com frações

Quando há frações, multiplicamos ambos os lados pelo MMC dos denominadores.

Exemplo 13: Resolva $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 10$

MMC(3, 2) = 6. Multiplicando tudo por 6:

$$2x + 3x = 60 \implies 5x = 60 \implies x = 12$$

Verificação: $\frac{12}{3} + \frac{12}{2} = 4 + 6 = 10$ ✓

Exemplo 14: Resolva $\frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 3}{2}$

Multiplicando por 4:

$$2x - 1 = 2(x + 3) = 2x + 6$$

$$2x - 2x = 6 + 1 \implies 0 = 7$$

Impossível! Esta equação não tem solução.

Problemas com equações

Exemplo 15: A soma de dois números consecutivos é 47. Quais são eles?

Chamando o menor de $x$, o próximo é $x + 1$:

$$x + (x + 1) = 47 \implies 2x + 1 = 47 \implies 2x = 46 \implies x = 23$$

Os números são 23 e 24.

Exemplo 16: O triplo de um número menos 8 é igual a 22. Qual é o número?

$$3x - 8 = 22 \implies 3x = 30 \implies x = 10$$

Exemplo 17: Um retângulo tem perímetro 38 cm. O comprimento é 5 cm maior que a largura. Quais as dimensões?

Largura = $x$, comprimento = $x + 5$.

$$2x + 2(x + 5) = 38 \implies 2x + 2x + 10 = 38 \implies 4x = 28 \implies x = 7$$

Largura = 7 cm, comprimento = 12 cm.

Resumo

Tipo Exemplo Estratégia
Um passo $x + 8 = 15$ Operação inversa
Dois passos $3x + 7 = 22$ Isolar $x$, depois dividir
$x$ dos dois lados $5x + 3 = 2x + 18$ Agrupar $x$ de um lado, números do outro
Com parênteses $2(x-3) = x + 1$ Distribuir primeiro
Com frações $\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 10$ Multiplicar pelo MMC
Problemas "A soma é 47..." Traduzir para equação

Sempre verifique substituindo a solução na equação original!

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