Potenciação com expoentes inteiros

O que é potenciação?

Potenciação é a operação que representa uma multiplicação repetida de um mesmo fator.

$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ vezes}}$$

Veja como funciona na prática:

• $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
• $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$
• $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$

E dois casos especiais que vale guardar:

• $a^1 = a$ (qualquer número elevado a 1 é ele mesmo)
• $1^n = 1$ (o número 1 elevado a qualquer expoente é sempre 1)

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Produto de potências de mesma base

Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Por que funciona? Pense na multiplicação expandida:

$$2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \times 2 \times 2)}_{3} \times \underbrace{(2 \times 2 \times 2 \times 2)}_{4} = 2^7 = 128$$

Mais exemplos:

• $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 = 3125$
• $10^4 \cdot 10^2 = 10^{4+2} = 10^6 = 1.000.000$
• $7^1 \cdot 7^1 = 7^{1+1} = 7^2 = 49$

Atenção: A regra só vale para mesma base. Não podemos somar expoentes em $2^3 \cdot 3^4$.

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Quociente de potências de mesma base

Quando dividimos potências de mesma base, subtraímos os expoentes:

$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$

Por que funciona? Cancelamos os fatores comuns:

$$\frac{5^6}{5^2} = \frac{\cancel{5 \times 5} \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}{\cancel{5 \times 5}} = 5^4 = 625$$

Mais exemplos:

• $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$
• $\frac{10^7}{10^4} = 10^{7-4} = 10^3 = 1000$
• $\frac{8^3}{8^1} = 8^{3-1} = 8^2 = 64$

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Potência de potência

Quando elevamos uma potência a outro expoente, multiplicamos os expoentes:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Por que funciona? Estamos repetindo a potência interna:

$$(3^2)^3 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6 = 729$$

Mais exemplos:

• $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
• $(10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6 = 1.000.000$
• $(5^4)^2 = 5^{4 \times 2} = 5^8 = 390.625$

E uma propriedade relacionada — potência de um produto:

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

• $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$
• $(5 \cdot 10)^2 = 5^2 \cdot 10^2 = 25 \cdot 100 = 2500$

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Expoente zero

Qualquer número diferente de zero elevado a 0 é igual a 1:

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

Por que funciona? Pela regra do quociente:

$$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$$

Mas também sabemos que $\frac{a^n}{a^n} = 1$. Logo, $a^0 = 1$.

Exemplos:

• $7^0 = 1$
• $(-3)^0 = 1$
• $100^0 = 1$
• $(2{,}5)^0 = 1$

Cuidado: $0^0$ é uma indeterminação — não tem valor definido.

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Expoentes negativos

Quando o expoente é negativo, invertemos a base e tornamos o expoente positivo:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Por que funciona? Pela regra do quociente:

$$\frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}$$

Como $a^0 = 1$, temos $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Exemplos com números:
- $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
- $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$
- $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$

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Expoentes negativos com frações

Quando a base é uma fração, o expoente negativo inverte a fração:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$$

Exemplos:

• $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$
• $\left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = \left(\frac{4}{1}\right)^{1} = 4$
• $\left(\frac{3}{5}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{3}\right)^{3} = \frac{125}{27}$

Perceba o padrão com potências de 10:

Potência	Valor
$10^3$	$1000$
$10^2$	$100$
$10^1$	$10$
$10^0$	$1$
$10^{-1}$	$0{,}1$
$10^{-2}$	$0{,}01$
$10^{-3}$	$0{,}001$

A cada vez que o expoente diminui em 1, o valor é dividido por 10.

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Notação científica

A notação científica usa potências de 10 para representar números muito grandes ou muito pequenos:

$$N = a \times 10^n \quad \text{onde } 1 \leq a < 10$$

Números grandes

Para números grandes, contamos quantas casas a vírgula "anda" para a esquerda:

• $300.000.000 = 3{,}0 \times 10^8$ (a vírgula andou 8 casas)
• $150.000 = 1{,}5 \times 10^5$
• $4.320.000 = 4{,}32 \times 10^6$

Números pequenos

Para números pequenos, contamos as casas para a direita (expoente negativo):

• $0{,}0000000001 = 1 \times 10^{-10}$
• $0{,}00045 = 4{,}5 \times 10^{-4}$
• $0{,}0072 = 7{,}2 \times 10^{-3}$

No mundo real

• Velocidade da luz: $3 \times 10^8$ m/s
• Diâmetro de um átomo: $1 \times 10^{-10}$ m
• Distância da Terra ao Sol: $1{,}5 \times 10^{11}$ m
• Massa de um elétron: $9{,}1 \times 10^{-31}$ kg

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Operações com notação científica

Para multiplicar, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes:

$$(2 \times 10^3) \times (3 \times 10^4) = 6 \times 10^{3+4} = 6 \times 10^7$$

Para dividir, dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes:

$$\frac{8 \times 10^6}{2 \times 10^2} = 4 \times 10^{6-2} = 4 \times 10^4$$

Exemplo completo: Quanto tempo a luz do Sol leva para chegar à Terra?

$$t = \frac{\text{distância}}{\text{velocidade}} = \frac{1{,}5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0{,}5 \times 10^{3} = 5 \times 10^2 = 500 \text{ s} \approx 8 \text{ min}$$

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Resumo das propriedades

Propriedade	Regra	Exemplo rápido
Produto de mesma base	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
Quociente de mesma base	$a^m \div a^n = a^{m-n}$	$5^6 \div 5^2 = 5^4$
Potência de potência	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(3^2)^3 = 3^6$
Potência de produto	$(ab)^n = a^n \cdot b^n$	$(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4$
Expoente zero	$a^0 = 1$	$7^0 = 1$
Expoente negativo	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac{1}{8}$
Notação científica	$a \times 10^n$	$4500 = 4{,}5 \times 10^3$

Ideias centrais:
1. Potenciação é multiplicação repetida
2. Todas as propriedades decorrem dessa ideia
3. Expoente negativo = inverso; expoente zero = 1
4. Notação científica combina potências de 10 com um coeficiente entre 1 e 10