Conjuntos Abertos
Definição. Um subconjunto $U \subseteq E$ é aberto se para todo $p \in U$ existe $r > 0$ tal que $B(p,r) \subseteq U$.
Proposição. Toda bola aberta é um conjunto aberto.
Demonstração. Seja $q \in B(p,r)$. Defina $\varepsilon = r - d(q,p) > 0$. Se $x \in B(q,\varepsilon)$, então
$$d(x,p) \le d(x,q) + d(q,p) < \varepsilon + d(q,p) = r,$$
logo $x \in B(p,r)$. Portanto $B(q,\varepsilon) \subseteq B(p,r)$. $\square$
Exemplo 5. Todo intervalo aberto $(a,b)$ em $\mathbb{R}$ é um conjunto aberto: para $p \in (a,b)$, tome $r = \min(p-a, b-p)$.
Exemplo 6. Na métrica discreta, todo subconjunto de $E$ é aberto: para qualquer $p \in S \subseteq E$, temos $B(p, 1/2) = {p} \subseteq S$.
Teorema. No espaço métrico $(E,d)$:
1. $\emptyset$ e $E$ são abertos.
2. A união arbitrária de abertos é aberta.
3. A interseção finita de abertos é aberta.
Demonstração. (1) é imediato. (2) Se $p \in \bigcup_\alpha U_\alpha$, então $p \in U_\alpha$ para algum $\alpha$, e existe $r>0$ com $B(p,r) \subseteq U_\alpha \subseteq \bigcup_\alpha U_\alpha$. (3) Se $p \in \bigcap_{i=1}^n U_i$, para cada $i$ existe $r_i>0$ com $B(p,r_i)\subseteq U_i$. Tome $r = \min(r_1,\dots,r_n) > 0$. $\square$