Conjuntos Fechados
Definição. Um subconjunto $F \subseteq E$ é fechado se seu complementar $E \setminus F$ é aberto.
Exemplo 7. Em $\mathbb{R}$, $[a,b]$ é fechado pois $\mathbb{R}\setminus[a,b] = (-\infty,a)\cup(b,+\infty)$ é aberto.
Exemplo 8. ${p}$ é fechado em qualquer espaço métrico: $E\setminus{p} = \bigcup_{x\neq p}B(x, d(x,p)/2)$... mais diretamente, se $q \neq p$ então $B(q, d(q,p)/2) \subseteq E\setminus{p}$.
Exemplo 9. Em $\mathbb{R}$, o conjunto $[0,1)$ não é aberto (pois $0$ não tem bola contida no conjunto) nem fechado (pois $\mathbb{R}\setminus[0,1) = (-\infty,0)\cup[1,+\infty)$ não é aberto — o ponto $1$ é problemático).
Teorema. Toda bola fechada é um conjunto fechado.
Demonstração. Seja $q \notin \overline{B}(p,r)$, isto é, $d(q,p)>r$. Defina $\varepsilon = d(q,p)-r>0$. Para $x\in B(q,\varepsilon)$: $d(p,x) \ge d(p,q)-d(q,x) > r$. Logo $B(q,\varepsilon) \subseteq E\setminus\overline{B}(p,r)$. $\square$
Teorema. No espaço métrico $(E,d)$:
1. $\emptyset$ e $E$ são fechados.
2. A interseção arbitrária de fechados é fechada.
3. A união finita de fechados é fechada.