Conjuntos Limitados
Definição. Um subconjunto $S \subseteq E$ é limitado se existe $p \in E$ e $M > 0$ tal que $S \subseteq B(p,M)$, ou equivalentemente, se $\text{diam}(S) = \sup{d(x,y) : x,y \in S} < +\infty$.
Exemplo 10. Em $\mathbb{R}$, $(0,1)$ é limitado: $\text{diam}((0,1))=1$. O conjunto $\mathbb{Z}$ não é limitado.
Exemplo 11. Em $\mathbb{R}^2$, $B((0,0),5)$ é limitado com diâmetro $\le 10$.
Exemplo 12. Na métrica discreta sobre um conjunto infinito $E$, todo subconjunto é limitado (diâmetro $\le 1$).
Observação. Todo subconjunto finito de um espaço métrico é limitado.
Intervalos em $\mathbb{R}$
Recordemos os tipos de intervalos em $\mathbb{R}$:
- Abertos: $(a,b)$, $(-\infty,b)$, $(a,+\infty)$, $(-\infty,+\infty)$.
- Fechados: $[a,b]$, $(-\infty,b]$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,+\infty)$, ${a}$.
- Semi-abertos: $[a,b)$, $(a,b]$.
Exemplo 13. O intervalo $[0,1]$ é fechado e limitado. O intervalo $[0,+\infty)$ é fechado mas não limitado. O intervalo $(0,1)$ é aberto e limitado.