Propriedades Topológicas e Métricas
Proposição. Se $U$ é aberto em $E$ e $S\subseteq E$ é um subespaço, então $U \cap S$ é aberto em $S$ (na métrica induzida).
Demonstração. Seja $p \in U\cap S$. Existe $r>0$ com $B_E(p,r)\subseteq U$. Então $B_S(p,r) = B_E(p,r)\cap S \subseteq U\cap S$. $\square$
Exemplo 14. $(0,1)$ é aberto em $\mathbb{R}$. Logo $(0,1)\cap\mathbb{Q}$ é aberto em $\mathbb{Q}$ (com a métrica induzida).
Exemplo 15. $[0,1)$ não é aberto em $\mathbb{R}$, mas $[0,1) \cap [0,2] = [0,1)$ é aberto em $[0,2]$? Não: $0$ não possui bola em $[0,2]$ contida em $[0,1)$... Na verdade, $[0,1)$ é aberto em $[0,1]$, pois $[0,1) = (-1,1)\cap[0,1]$.